Тепловые процессы в технологической системе резания. Неумоина Н.Г - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КТИ ВолгГТУ | Камышин

Составители: 

Рубрика: 

13
1
A
2
x
dQ
2
x+
x
D
dQ
2
D
х
1x
B
1
C
z
C
1
z
1
B
2
A
y
y
Рис. 1.4. Перенос тепла в элементарном объеме
dQ
2
– количество теплоты, возникшее в объеме ΔV в связи с функ-
ционированием в нем внутренних источников. К внутренним относятся
источники, тепловыделение
которых связано с процессами,
происходящими в материале
твердого тела, например, с
объемными химическими
реакциями, действием
электрического тока и т. д. Пусть
за время
d
τ
к элементарной
площадке
А
1
В
1
С
1
Д
1
подведено
dQ
x
= q
x
⋅
Δ
y
⋅
Δ
z
⋅
d
τ
теплоты, где
q
x
– плотность теплового потока в направлении оси ОХ. Через противо-
положную площадку
А
2
В
2
С
2
Д
2
за это же время отводится dQ
x+
Δ
x
теплоты,
причем
dQ
x+
Δ
x
= q
x+
Δ
x
⋅
Δ
y
⋅
Δ
z
⋅
d
τ
.
Разность:
dQ
1x
= dQ
x
- dQ
x +
Δ
x
= (q
x
- q
x +
Δ
x
)
⋅
Δ
y
⋅
Δ
z
⋅
d
τ
, (1.14)
представляет собой количество теплоты, поступившей в объем
Δ
V за счет
теплопередачи в направлении оси ОХ. Функция
q
x+
Δ
x
непрерывна в ин-
тервале
Δ
x, поэтому она может быть разложена в ряд Тейлора:
...
2
x
x
q
x
x
q
qq
2
2
x
2
x
xxx
+⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
+=
+
Δ
Δ
Δ
(1.15)
Ограничимся первыми двумя членами ряда, поскольку остальные
содержат малые величины высоких порядков. Тогда уравнение (1.14)
преобразуется:
τΔτΔΔΔ
dV
x
q
dzyx
x
q
dQ
xx
x1
⋅⋅
∂
∂
−=⋅⋅⋅⋅
∂
∂
−=
. (1.16)
Аналогичные выражения можно получить для определения количе-
ства теплоты, поступившей в объем
Δ
V по направлениям OY и OZ. Сум-
мируя величины
dQ
1x
, dQ
1y
, dQ
1z
, получаем:
τΔ
dV
z
q
y
q
x
q
dQ
z
y
x
1
⋅⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
. (1.17)
Определим величину
dQ
2
. Если объемную плотность тепловыделе-
ния внутренних источников обозначить
q
в.
, то за время d
τ
в объеме
Δ
V
накопится теплота:
dQ
2
= q
в.
⋅
Δ
V
⋅
d
τ
. (1.18)
Элементарные количества теплоты dQ
1
и dQ
2
вызовут изменение
температуры вещества и величину
dU можно найти из уравнения: 
      dQ2 – количество теплоты, возникшее в объеме ΔV в связи с функ-
ционированием в нем внутренних источников. К внутренним относятся
        z                                         источники,                тепловыделение
                  y
                          x                       которых связано с процессами,
                      C1       C2                 происходящими в материале
             B1      B2                           твердого тела, например, с


                             z
        dQ1x       D1    D  2           dQ x+ x объемными                      химическими
                                                  реакциями,                     действием
             A1         A2                        электрического тока и т. д. Пусть
                                   х
                                                  за время dτ к элементарной
y                                                 площадке А1В1С1Д1 подведено
 Рис. 1.4. Перенос тепла в элементарном объеме
                                                  dQx = qx ⋅ Δy ⋅ Δz ⋅ dτ теплоты, где
qx – плотность теплового потока в направлении оси ОХ. Через противо-
положную площадку А2В2С2Д2 за это же время отводится dQx+Δx теплоты,
причем dQx+Δx = qx+Δx ⋅ Δy ⋅ Δz ⋅ dτ.
      Разность:
                      dQ1x = dQx - dQx + Δx = (qx - qx + Δx) ⋅ Δy ⋅ Δz ⋅ dτ,          (1.14)
представляет собой количество теплоты, поступившей в объем ΔV за счет
теплопередачи в направлении оси ОХ. Функция qx+Δx непрерывна в ин-
тервале Δx, поэтому она может быть разложена в ряд Тейлора:
                                         ∂q         ∂ 2 q x Δx 2
                        q x + Δx = q x + x ⋅ Δx +            ⋅       + ...            (1.15)
                                          ∂x         ∂x 2         2
      Ограничимся первыми двумя членами ряда, поскольку остальные
содержат малые величины высоких порядков. Тогда уравнение (1.14)
преобразуется:
                               ∂q                             ∂q
                  dQ1 x = − x ⋅ Δx ⋅ Δy ⋅ Δz ⋅ dτ = − x ⋅ ΔV ⋅ dτ .                   (1.16)
                                ∂x                             ∂x
      Аналогичные выражения можно получить для определения количе-
ства теплоты, поступившей в объем ΔV по направлениям OY и OZ. Сум-
мируя величины dQ1x, dQ1y, dQ1z, получаем:
                                       ⎛ ∂q    ∂q y ∂q z ⎞
                              dQ1 = −⎜⎜ x +         +          ⎟ ⋅ ΔV ⋅ dτ .
                                                               ⎟                      (1.17)
                                       ⎝  ∂x    ∂y       ∂ z   ⎠
    Определим величину dQ2. Если объемную плотность тепловыделе-
ния внутренних источников обозначить qв., то за время dτ в объеме ΔV
накопится теплота:
                           dQ2 = qв. ⋅ ΔV ⋅ dτ.                (1.18)
    Элементарные количества теплоты dQ1 и dQ2 вызовут изменение
температуры вещества и величину dU можно найти из уравнения:


                                            13

Страницы