Тепловые процессы в технологической системе резания. Неумоина Н.Г - 14 стр.

                                    ∂t   1   dU
                                       =   ⋅    ,                                      (1.19)
                                    ∂τ cρΔV dτ
где с – массовая теплоемкость, Дж/(кг⋅К), ρ – плотность вещества, кг/м3.
     Подставляя значения dQ1, dQ2, dU из уравнений (1.17) – (1.19) в
уравнение (1.13), получим:
                     ∂t    1 ⎛ ∂q x ∂q y ∂q z ⎞ qв
                        =     ⋅⎜     +    +      ⎟+      .         (1.20)
                     ∂ τ c ⋅ ρ ⎜⎝ ∂x   ∂y    ∂z ⎟⎠ с ⋅ ρ
                                             ∂t              ∂t              ∂t
     Но по закону Фурье: q x = −λ ⋅             ; q y = −λ ⋅    ; q z = −λ ⋅    .
                                             ∂x              ∂y              ∂z
Тогда:
    ∂t   1   ⎡∂ ⎛          ∂t ⎞ ∂ ⎛              ∂t ⎞ ∂ ⎛               ∂ t ⎞ ⎤ qв
       =     ⎢ ⎜⎜ λ (t ) ⋅    ⎟⎟ +   ⎜⎜ λ (t ) ⋅     ⎟⎟ +   ⎜⎜ λ (t ) ⋅      ⎟⎥ +      . (1.21)
    ∂τ c ⋅ ρ ⎣⎢ ∂ x ⎝      ∂x ⎠ ∂ y ⎝            ∂ y ⎠ ∂z ⎝             ∂ z ⎟⎠⎦⎥ c ⋅ ρ
    Так как коэффициент теплопроводности зависит от температуры, то
дифференциальное уравнение теплопроводности в общем виде имеет вы-
ражение (1.21). Более простой вид уравнения получается после принятия
упрощающих допущений. Наиболее часто применяют следующие допу-
щения: 1) коэффициент теплопроводности не зависит от температуры; 2)
плотность внутренних источников тепла равна 0, (qв = 0):
                        ∂t       λ ⎛⎜ ∂ 2 t ∂ 2 t ∂ 2 t ⎞⎟
                            =      ⋅            +         +         ,                    (1.22)
                       ∂τ c ⋅ ρ ⎜⎝ ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ z 2 ⎟⎠
           λ
     где       = a – коэффициент температуропроводности данного веще-
         c⋅ρ
ства. Он характеризует тепловую инерцию материала. Чем выше а, тем бы-
стрее материал прогревается.
     Таким образом, в наиболее простом виде дифференциальное уравне-
ние теплопроводности выглядит так:
                                ∂t
                                   = a ⋅ ∇ 2t ,                  (1.23)
                                ∂τ
     где ∇2 – оператор Лапласа.
     Выражения (1.23) и (1.22) представляют собой нелинейные диффе-
ренциальные уравнения в частных производных второго порядка.
     Аналитическое решение нелинейных дифференциальных уравнений
достаточно сложно и они могут быть решены только в простейших случаях
теплообмена. Намного легче решаются линейные дифференциальные урав-
нения т. к. они обладают важной особенностью известной из математики:
сумма нескольких независимых друг от друга решений линейного диффе-
ренциального уравнения также является решением такого уравнения. Это
                                   14