Основы САПР измерительных систем. Николаев С.В. - 122 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

122
Если множество входов { x
i
(t) } образует линейное векторное пространст-
во
1
, то существует однозначное представление любой функции x(t) через ба-
зис:
),()( tatx
i
i
i
φ
∑
=
где φ
i
(t) – элементы базиса; a
i
– коэффициенты разложения (проекции) по
элементам базиса.
В этом случае реакция
линейной системы может быть представлена сле-
дующим образом:
[] [ ]
∑∑∑
==
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
==
i
ii
i
ii
i
ii
thatatatxty ),()()()()( φφ QQQ
где
[]
)()( tth
ii
φ
Q= – реакция системы на i-ю базисную функцию φ
i
(t).
Отсюда видно, что реакция линейной системы на произвольное воздейст-
вие полностью и однозначно определяется набором реакций {
h
i
(t)} системы
на базисные функции {φ
i
(t)} и коэффициентами {a
i
} разложения входного
воздействия по этому же базису.
В области
непрерывных линейных инвариантных к сдвигу систем осо-
бую роль играет разложение по базису {φ(τ,
t)}, где φ(τ,t) = δ(t-τ) (дельта-
функция Дирака), τ
∈R (R множество вещественных чисел). Имеет место
представление через этот базис (в виде интегральной свертки):
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
)−(⋅)=,(⋅)= ,()()( ττδτττφτ dtadtatx
где
a(τ) = x(τ), поскольку разложение по базису {δ(t-τ)} совпадает с исходной
функцией (фильтрующее свойство дельта-функции).
Согласно свойству линейности
[]
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
−⋅=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
)−(⋅)== ,)()((Q)(Q)( τττττδτ dthxdtatxty
где
h(t) = Q[δ(t)] – импульсный отклик (импульсная характеристика) линей-
ной системы.
Обозначив через * – операцию интегральной свертки, можно записать
кратко:
1
Элементами (точками) этого пространства являются функции.

Страницы