Основы САПР измерительных систем. Николаев С.В. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

15
ных множеств. Для бесконечных множеств отношение между частью и це-
лым уже не вписывается в такую простую схему. Это можно проиллюстри-
ровать теоремой Кантора - Бернштейна [8, стр. 36], [9, стр. 25] (или, по дру-
гой версии, Шредера - Бернштейна [10, стр.18]):
Теорема Кантора - Бернштейна. Пусть A и B - множества, каждое из кото-
рых эквивалентно некоторому подмножеству другого.
Тогда множества A и B
эквивалентны между собой.
Несколько поясним смысл теоремы. Речь идет о двух множествах A и B,
каждое из которых содержит соответствующие подмножества: A
1
⊂A и B
1
⊂B.
Если A эквивалентно части B (подмножеству B
1
), а B эквивалентно части A
(подмножеству A
1
), то A и B эквивалентны!
A
A
1
B
B
1
Рис. 1.1. Иллюстрация к теореме Кантора-Бернштейна.
Другими словами, если A является частью B и одновременно B является
частью A, то A∼B. Нетрудно заметить, что данная теорема для конечных
множеств не имеет нетривиального смысла, так как исходное условие в
нетривиальном случае собственных подмножеств для них не выполняется
никогда: для конечных множеств либо A является собственной частью B либо
B является собственной частью A, но никогда и то и другое одновременно.
В частном случае A = B теорема утверждает, что даже в нетривиальном
случае, когда A\A
1
≠∅, то есть, не все элементы множества A входят в под-
множество A
1
(A
1
- собственное подмножество множества A) и одновременно
целое (множество A) эквивалентно своей части (подмножеству A
1
), это целое
совпадает само с собой.
Странность этой теоремы становится совсем "очевидной", если проинтер-
претировать ее, скажем, "на яблоках". Если яблоко A эквивалентно (для оп-
ределенности) половине B
1
яблока B и, одновременно (!), яблоко B эквива-
лентно половине A
1
яблока A, то яблоки A и B - равны!

Страницы