Основы САПР измерительных систем. Николаев С.В. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

73
где ω= 2πf - круговая частота (рад/с), f - циклическая частота (Гц), j- мнимая
единица.
На основе частотного представления вводится понятие сигнала с ограни-
ченным (финитным) спектром. Такие сигналы имеют числовой параметр
верхнюю (или граничную) частоту.
Определение. Сигнал x(t) называют сигналом с финитным (ограничен-
ным) спектром с верхней частотой F
В
(Ω
В
=2π F
В
), если
(
)()
ω
↔
Xtx и
()
В
при 0 Ω>ω≡ωX .
Теорема отсчетов (Шеннона-Котельникова): Сигнал с финитным
спектром ограниченным частотой
F
В
может быть однозначно восстановлен (с
помощью идеального ФНЧ) по совокупности дискретных отсчетов, если шаг
дискретизации по времени
Δt удовлетворяет условию:
В
2
1
F
t
⋅
≤Δ
.
Определив частоту дискретизации
F
Д
= 1/Δt, условие теоремы отсчетов
можно записать в виде:
ВД
2 FF
⋅
≥ .
Доказательство, а значит и понимание теоремы отсчетов опирается на тот
факт, что спектр равномерно дискретизированного с частотой
F
Д
сигнала
получается путем периодического (с периодом
F
Д
) "размножения" спектра
исходного непрерывного сигнала и суммирования всех таких сдвинутых ко-
пий, то есть дискретизация по времени влечет "периодизацию" спектра. По-
ясним это в точных математических терминах. Последовательности
()
∞≤≤∞−Δ⋅= itixx
i
, дискретных отсчетов можно поставить в соответствие
модель дискретного сигнала в виде функции непрерывного времени
1
() ( )
∑
∞
−∞=
Δ⋅−δ⋅=
i
i
titxtx
Д
. Если
(
)
(
)
ω
↔
Xtx , то
(
)
(
)
ω
↔
ДД
Xtx , причем
()
()
∑
∞
−∞=
Ω⋅−ω=ω
i
iXX
ДД
. Смысл теоремы отсчетов иллюстрируется кривыми
в частотной области на Рис. 2.14, где по горизонтальной оси отложена круго-
вая частота ω=2π
f и, соответственно, помечены частоты Ω
В
=2πF
В
, Ω
Д
=2πF
Д
,
Ω
S
=2πF
S
. Граничная частота F
S
восстанавливающего фильтра нижних частот,
о котором идет речь в теореме отсчетов, должна удовлетворять условию:
ВДSВ
FFFF
−
≤
≤
.
1
Введение дельта-функции Дирака δ(t) в модель дискретного сигнала позволяет
корректно использовать такую модель в подынтегральных выражениях и, следова-
тельно, в интеграле Фурье.

Страницы