Практикум по теории управления в среде MATLAB. Никульчев Е.В. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Мощным инструментом исследования устойчивости
динамических систем является метод функций Ляпунова. Для линейных
автономных систем существование функции Ляпунова в виде
квадратичной формы является одновременно необходимым и
достаточным условием равномерной асимптотической устойчивости в
целом.
Рассмотрим линейную стационарную систему
x
A
x
=
(4.2)
Допустим, что нам удалось найти функцию Ляпунова: V(x)=x
T
Qx, где
Q – симметричная и положительная определенная матрица. Тогда
(
)
()

V
x x Qx x Qx x A Qx x QAx x A Q QA x
TT TTT TT
=+= + = + (4.3)
Обозначим
AQ QA
T
+
= – С, (4.4)
тогда, поскольку С положительно определенна, то система
асимптотически устойчива в целом. Более того, т.к.
()
(
)
(
)
CAQQA QAAQ QAAQ
TT
T
TTT T
=− + =− + =− + =−C,
то матрица С симметрична.
На практике целесообразно решать обратную задачу. Выбирают
какую-либо положительно определенную положительную матрицу,
например C = I. Тогда из (4.4) можно получить Q. Если квадратичная
форма Q оказывается неопределенной (знакопеременной), то по теореме
Ляпунова о неустойчивости начало координат неустойчиво. Если Q
положительно определена, то поскольку система линейна и
стационарна, начало координат асимптотически устойчиво в целом.
Обоснованность такого анализа зависит от того, определяет ли
уравнение (4.4) однозначно матрицу Q, если задана симметричная и
положительная С.
Справедливы следующие утверждения:
1.
Если n собственных значений λ
1
, …, λ
n
матрицы A таковы, что
λ
i
+λ
j
≠ 0 (
ij n,,=1
), то из уравнения (4.4) при заданной матрице С
матрица Q определяется однозначно. (Достаточное условие
устойчивости матрицы А).
–
52 – 
        Мощным             инструментом            исследования        устойчивости
динамических систем является метод функций Ляпунова. Для линейных
автономных систем существование функции Ляпунова в виде
квадратичной формы является одновременно необходимым и
достаточным условием равномерной асимптотической устойчивости в
целом.
        Рассмотрим линейную стационарную систему
                                          x = A x                             (4.2)
                                                                            T
Допустим, что нам удалось найти функцию Ляпунова: V(x)=x Qx, где
Q – симметричная и положительная определенная матрица. Тогда
                                                           (        )
  V ( x ) = x T Qx + x T Qx = x T A T Qx + x T QA x = x T A T Q + QA x      (4.3)
Обозначим
                                       A T Q + QA = – С,                        (4.4)
тогда, поскольку С положительно определенна,                            то   система
асимптотически устойчива в целом. Более того, т.к.

               (            )      (              ) (               )
                            T
       C T = − AT Q + QA        = − Q T A + AT Q T = − QA + AT Q = −C ,
то матрица С симметрична.
      На практике целесообразно решать обратную задачу. Выбирают
какую-либо положительно определенную положительную матрицу,
например C = I. Тогда из (4.4) можно получить Q. Если квадратичная
форма Q оказывается неопределенной (знакопеременной), то по теореме
Ляпунова о неустойчивости начало координат неустойчиво. Если Q
положительно определена, то поскольку система линейна и
стационарна, начало координат асимптотически устойчиво в целом.
Обоснованность такого анализа зависит от того, определяет ли
уравнение (4.4) однозначно матрицу Q, если задана симметричная и
положительная С.
      Справедливы следующие утверждения:
1. Если n собственных значений λ1, …, λn матрицы A таковы, что
  λi+λj ≠ 0 ( i, j = 1, n ), то из уравнения (4.4) при заданной матрице С
  матрица Q определяется                однозначно.        (Достаточное      условие
  устойчивости матрицы А).



                                       – 52 –

Страницы