Практикум по теории управления в среде MATLAB. Никульчев Е.В. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Найдем максимум в последнем выражении по управлению с
использованием необходимых условий экстремума и правила 1-3.
Дифференцируя выражение в квадратных скобках по u и приравнивая
результат нулю, получаем структуру оптимального управления:
.
),(
)()(),(*u
1
t
xt
tBtQxt
T
∂
ϕ
∂
=
−
(5.12)
Решение уравнения (5.11) ищется в виде
xKxxt
T
2
2
1
),( =ϕ
, (5.13)
где K
2
(t) - неизвестная симметрическая матрица (n × n).
Подставляя (5.13) в уравнение (5.11), приравнивая нулю
квдратичные формы, получаем:
),()()()()()()()()()()(
2
1
2222
tStKtBtQtBtKtAtKtKtAtK
TT
+−−−=
−
Λ
−
=
)(
12
tK
(5.14)
Решая уравнение Риккати (5.14), можно получить явный вид
оптимального управления (5.12) с полной обратной связью
)()()(),(*u
2
1
tKtBtQxt
T−
=
. (5.15)
Минимальная величина функционала вычисляется по формуле
002000
)(
2
1
),(min xtKxxtJ
T
−=ϕ−=
.
Рассмотрим дискретный случай
x(k+1) = A(k) x(k) + B(k) u(k), (5.16)
y(k) = C(k) x(k) + D(k) u(k)
k = 0, 1, …, N –1,
с начальным условием
x(0) = x
0
, (5.17)
и функционалом качества
()
(
)
)()()()()()()()(
1
0
NxNxkukRkukxkQkxJ
T
N
k
TT
Λ++=
∑
−
=
(5.18)
где Q(k), Λ – неотрицательно определенные симметрические матрицы
размера (n × n), R(k) - положительно определенная симметрическая
матрица (q × q).
Требуется найти управление u*(k, x) с полной обратной связью,
минимизирующее функционал (5.19).
Уравнение Беллмана принимают вид
)])()(,1()()([min),( ukBxkAkBukRuxkQxxkB
TT
u
++++=
(5.19)
Функция Беллмана B(k, x) ищется в форме
–
66 – 
Найдем максимум в последнем выражении по управлению с
использованием необходимых условий экстремума и правила 1-3.
Дифференцируя выражение в квадратных скобках по u и приравнивая
результат нулю, получаем структуру оптимального управления:
                                                                    ∂ϕ(t , x)
                                    u * (t , x) = Q −1 (t ) BT (t )             .                   (5.12)
                                                                        ∂t
Решение уравнения (5.11) ищется в виде
                                                        1
                                           ϕ(t , x) = xT K 2 x ,                                    (5.13)
                                                        2
где K2(t) - неизвестная симметрическая матрица (n × n).
      Подставляя (5.13) в уравнение (5.11), приравнивая нулю
квдратичные формы, получаем:
       K 2 (t ) = − AT (t ) K 2 (t ) − K 2 (t ) A(t ) − K 2 (t ) B(t )Q −1 (t ) BT (t ) K 2 (t ) + S (t ),
                                             K 2 (t1 ) = −Λ                                         (5.14)
      Решая уравнение Риккати (5.14), можно получить явный вид
оптимального управления (5.12) с полной обратной связью
                                         u * (t , x) = Q −1 (t ) BT (t ) K 2 (t ) .                 (5.15)
      Минимальная величина функционала вычисляется по формуле
                                                           1
                          min J = −ϕ(t0 , x0 ) = − x0T K 2 (t0 ) x0 .
                                                           2
      Рассмотрим дискретный случай
                                   x(k+1) = A(k) x(k) + B(k) u(k),                                  (5.16)
                                      y(k) = C(k) x(k) + D(k) u(k)
                                        k = 0, 1, …, N –1,
с начальным условием
                                             x(0) = x0,                                             (5.17)
и функционалом качества
                   (                                             ) (                    )
               N −1
          J = ∑ xT (k )Q (k ) x(k ) + u T (k ) R (k )u (k ) + xT ( N )Λx( N )                     (5.18)
               k =0
где Q(k), Λ – неотрицательно определенные симметрические матрицы
размера (n × n), R(k) - положительно определенная симметрическая
матрица (q × q).
     Требуется найти управление u*(k, x) с полной обратной связью,
минимизирующее функционал (5.19).
     Уравнение Беллмана принимают вид
       B ( k , x) = min[ xT Q ( k ) x + u T R (k )u + B (k + 1, A( k ) x + B ( k )u )] (5.19)
                         u
        Функция Беллмана B(k, x) ищется в форме

                                              – 66 –

Страницы