Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 12 стр.

   t=
           θˆ j −θ *j
                          =
                            (θˆ −θ ) σ
                             j
                                 *
                                 j       ( X T X )−j1j
                                                         .
        S ( X T X )−j1j              S2 σ 2
Из предыдущего вытекает, что если гипотеза H0 верна, то условное распределение этой t-
статистики имеет t-распределение Стьюдента с (n – p) степенями свободы,
    t | X ~ t(n – p) .
Это условное распределение одно и то же для всех X . Поэтому вне зависимости от того,
какое именно распределение имеет X , безусловным распределением t-статистики для H0:
θ j = θ *j при выполнении этой гипотезы будет все то же распределение t(n – p) .
    Аналогичное рассмотрение показывает возможность использования стандартных F-
критериев для проверки линейных гипотез о значениях коэффициентов.

   Те же самые выводы остаются в силе при замене предположений ситуации A следующим
предположением.

Ситуация A΄
   • ε | X ~ N(0, σ2In) , где In – единичная матрица (размера n × n) .

   Для краткости мы будем далее обозначать
   xt = (xt1, xt2, …, xtp)T – вектор значений p объясняющих переменных в t-м наблюдении.

Ситуация B
    • случайная величина ε s не зависит (статистически) от xt1, xt2, …, xtp при всех t и s ;
    • распределение случайной величины ε t не является нормальным, но
       ε t ~ i.i.d., E(ε t) = 0, D(ε t) = σ2 > 0 и E(ε t4) = µ4 < ∞ ;
    • E(xt xtT) = Qt – положительно определенная матрица, (1/n)( Q1 + … + Qn) → Q при n
       → ∞ , где Q – положительно определенная матрица;
    • E(xit xjt xkt xst) < ∞ для всех i, j, k, s ;
    • (1/n)( x1 x1T + … + xn xnT) → Q по вероятности .
В силу первого предположения, оценка наименьших квадратов вектора коэффициентов θ
остается несмещенной, как и в ситуации A. Однако при конечном количестве наблюдений n
из-за негауссовости (ненормальности) распределения ε t распределения статистики S2, а
также t- и F-статистик, будут отличаться от стандартных, получаемых в предположении
гауссовости. Чтобы продолжать пользоваться обычной техникой регрессионного анализа, мы
должны здесь сослаться на следующие асимптотические результаты, строгий вывод которых
можно найти, например, в книге [Hamilton (1994)].