Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 10 стр.

      С точки зрения моделирования реальных экономических явлений, предположение о
 фиксированности значений объясняющих пременных можно считать реалистическим лишь
 в отдельных ситуациях, связанных с проведением контролируемого эксперимента. Между
 тем в реальных ситуациях по большей части нет возможности сохранять неизменными
 значения объясняющих переменных. Более того, и сами наблюдаемые значения
 объясняющих переменных ( как и “ошибки”) часто интерпретируются как реализации
 некоторых случайных величин. В таких ситуациях становится проблематичным
 использование техники статистических выводов, разработанной для классической
 нормальной линейной модели.
    Поясним последнее, обратившись к матрично-векторной форме записи классической
линейной модели с p объясняющими переменными:
    y = Xθ + ε ,
в которой
    y = (y1, ..., yn)T - вектор значений объясняемой переменной в n наблюдениях,
    X – (n×p)-матрица значений объясняющих переменных в n наблюдениях, n > p,
    θ = (θ 1, θ 2, …,θ p)T - вектор коэффициентов,
    ε = (ε 1, ε 2, …,ε n)T - вектор случайных ошибок (возмущений) в n наблюдениях.
Если матрица X имеет полный ранг p , то матрица XTX является невырожденной, для нее
существует обратная матрица (XTX) – 1 , и оценка наименьших квадратов для вектора θ
неизвестных коэффициентов имеет вид
     θˆ = (XTX) – 1XTy .
Математическое ожидание вектора оценок коэффициентов равно
    E( θˆ ) = E ((XTX) – 1XT(Xθ + ε )) = E ((XTX) – 1XTXθ ) + E ((XTX) – 1XTε ) = θ + E (XTX) – 1XTε ).
    Если матрица X фиксирована, то E ((XTX) – 1XTε ) = (XTX) – 1XT E (ε ) = 0, так что
    E( θˆ ) = θ ,
т.е. θˆ – несмещенная оценка для θ .
    Если же мы имеем дело со стохастическими (случайными, недетерминированными)
объясняющими переменными, то в общем случае E ((XTX) – 1XTε ) ≠ 0, так что
    E( θˆ ) ≠ θ ,
и θˆ – смещенная оценка для θ , и, кроме того, эта оценка уже не имеет нормального
распределения.

   Если объясняющие переменные стохастические, то в некоторых случаях все же остается
возможным использовать стандартную технику статистических выводов, предназначенную
для классической нормальной линейной модели, по крайней мере, в асимптотическом плане
(при большом количестве наблюдений).
   В этом отношении наиболее благоприятной является