Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 169 стр.

     6.9.4. Наличие нескольких единичных корней
     После появления работ [Fuller (1976)] и [Dickey, Fuller (1981)] было проведено довольно
много практических исследований экономических временных рядов с целью решения
вопроса о наличии или отсутствии единичных корней в моделях процессов, порождающих
эти ряды.
     При этом обычно сначала рассматривался сам временной ряд, и проводилась проверка
его на нестационарность с использованием критериев Дики – Фуллера . Если гипотеза
единичного корня не отвергалась, то после этого переходили к рассмотрению ряда разностей
и проверяли гипотезу единичного корня для этого ряда, применяя к ряду разностей
процедуру Дики – Фуллера.
     Если при анализе ряда разностей гипотеза единичного корня отвергалась, то принималось
решение о том, что исходный ряд – интегрированный порядка 1. В противном случае
переходили к рассмотрению ряда вторых разностей и проверяли гипотезу единичного корня
для этого ряда. Обычно на этом шаге гипотеза единичного корня отвергалась и исходный ряд
определялся как интегрированный порядка 2.
     Более поздние исследования показали, что такого рода последовательные процедуры не
обладают заявленными уровнями значимости, имея тенденцию к занижению
действительного количества единичных корней. И в таком несоответствии нет ничего
удивительного: критерии Дики – Фуллера основаны на предположении, что если единичный
корень и имеется, то тогда он единственный. Положение здесь похоже на другие ситуации,
когда последовательная проверка гипотез идет не от общего к частному, а от частного к
общему.
     В связи с этим, для ситуаций, когда предполагаемая модель авторегрессии для
анализируемого ряда может иметь порядок р выше первого, р > 1, в работе [Dickey, Pantula
(1987)] была предложена процедура последовательной проверки гипотез о количестве
единичных корней характеристического уравнения, построенная по принципу “от общего к
частному”. Сначала проверяется гипотеза о том, что все р корней характеристического
многочлена единичные; при ее отвержении проверяется гипотеза о наличии р – 1 единичных
корней и.т.д.
     Поясним смысл этой процедуры на примере процесса авторегрессии AR(2)
     a(L) xt = εt ,
т.е.
     (1 – a1L – a2L2) xt = εt ,
или
     (1 – aL)( 1 – bL) xt = εt ,
где
     a = 1/z1 , b = 1/z2 , а z1, z2 – корни уравнения a(z) = 0.