Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 170 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

При этом мы предполагаем, что процесс не носит взрывного характера, так что | z
1
|, |z
2
| ≥1, а
значит, |
a|, |b| ≤ 1.
Раскрывая скобки и перенося все составляющие, кроме
x
t
,
в правую часть уравнения,
получаем:
x
t
= (a + b) x
t – 1
– abx
t – 2
+ ε
t
.
Вычтем из обеих частей
x
t – 1
:
∆
x
t
= (a + b – 1) x
t – 1
– abx
t – 2
+ ε
t
.
Из обеих частей полученного равенства вычтем ∆
x
t – 1
:
∆
2
x
t
= ∆x
t
– ∆ x
t – 1
= – ∆ x
t – 1
+ (a + b – 1) x
t – 1
– abx
t – 2
+ ε
t
=
=
(a + b – 2) x
t – 1
+ (1– ab) x
t – 2
+ ε
t
.
Выделим в правой части первую разность:
∆
2
x
t
= (a + b – 2) x
t – 1
+ [– (ab – 1) x
t – 2
+ (ab – 1) x
t – 1
] – (ab – 1) x
t – 1
+ ε
t
= (a + b – ab – 1) x
t – 1
+ (ab – 1) ∆x
t – 1
+ ε
t
,
так что
∆
2
x
t
= (a– 1)(1 – b) x
t – 1
+ (ab – 1) ∆x
t – 1
+ ε
t
.
Это базовое соотношение позволяет идентифицировать ситуации, когда имеется 2
единичных корня, когда имеется 1 единичный корень и когда единичных корней нет.
Именно,
• Если a = b = 1 (два единичных корня), то ∆
2
x
t
= ε
t
.
• Если a = 1, |b| < 1 (один единичный корень), то
∆
2
x
t
= (b – 1) ∆x
t – 1
+ ε
t
, или
∆
2
x
t
= φ ∆x
t – 1
+ ε
t
с φ < 0 .
• Если |a| < 1 и |b| < 1 (нет единичных корней), то
∆
2
x
t
= ψ x
t – 1
+ φ ∆x
t – 1
+ ε
t
с φ < 0 и ψ < 0.
Соответственно, процедура, предложенная Дики и Пантулой, такова.
Если мы допускаем наличие двух
единичных корней, то сначала оцениваем
статистическую модель
∆
2
x
t
= α + φ ∆x
t – 1
+ u
t
и сравниваем значение
t-статистики для коэффициента φ с критическим значением
соответствующей статистики Дики – Фуллера (случаи 1 или 2, в зависимости от того, будем
ли мы исходить из
α = 0 или α ≠ 0). Здесь u
t
– либо просто процесс белого шума либо
включает в себя еще и запаздывающие значения второй разности ∆
2
x
t – 1
, ... , ∆
2
x
t – p + 1
.
Если гипотеза о наличии двух единичных корней (
φ = 0) отвергается, то тогда следует
оценить статистическую модель
∆
2
x
t
= ψ x
t – 1
+ φ ∆x
t – 1
+ u
t
и проверить гипотезу ψ = 0 против альтернативы ψ < 0. Отклонение этой гипотезы
означает признание того, что у ряда
x
t
нет единичных корней, а ее неотклонение – что x
t
~
I(1). 
При этом мы предполагаем, что процесс не носит взрывного характера, так что | z1|, |z2| ≥1, а
значит, | a|, |b| ≤ 1.
    Раскрывая скобки и перенося все составляющие, кроме xt , в правую часть уравнения,
получаем:
    xt = (a + b) xt – 1 – abxt – 2 + εt .
Вычтем из обеих частей xt – 1 :
    ∆xt = (a + b – 1) xt – 1 – abxt – 2 + εt .
Из обеих частей полученного равенства вычтем ∆ xt – 1 :
    ∆2xt = ∆xt – ∆ xt – 1 = – ∆ xt – 1 + (a + b – 1) xt – 1 – abxt – 2 + εt =
         = (a + b – 2) xt – 1 + (1– ab) xt – 2 + εt .
Выделим в правой части первую разность:
    ∆2xt = (a + b – 2) xt – 1 + [– (ab – 1) xt – 2 + (ab – 1) xt – 1] – (ab – 1) xt – 1 + εt
         = (a + b – ab – 1) xt – 1 + (ab – 1) ∆xt – 1+ εt ,
так что
    ∆2xt = (a– 1)(1 – b) xt – 1 + (ab – 1) ∆xt – 1+ εt .
    Это базовое соотношение позволяет идентифицировать ситуации, когда имеется 2
единичных корня, когда имеется 1 единичный корень и когда единичных корней нет.
Именно,
    • Если a = b = 1 (два единичных корня), то ∆2xt = εt .
    • Если a = 1, |b| < 1 (один единичный корень), то
           ∆2xt = (b – 1) ∆xt – 1+ εt , или
           ∆2xt = φ ∆xt – 1+ εt с φ < 0 .
    • Если |a| < 1 и |b| < 1 (нет единичных корней), то
           ∆2xt = ψ xt – 1 + φ ∆xt – 1+ εt с φ < 0 и ψ < 0.
Соответственно, процедура, предложенная Дики и Пантулой, такова.
    Если мы допускаем наличие двух единичных корней, то сначала оцениваем
статистическую модель
    ∆2xt = α + φ ∆xt – 1 + ut
и сравниваем значение t-статистики для коэффициента φ с критическим значением
соответствующей статистики Дики – Фуллера (случаи 1 или 2, в зависимости от того, будем
ли мы исходить из α = 0 или α ≠ 0). Здесь ut – либо просто процесс белого шума либо
включает в себя еще и запаздывающие значения второй разности ∆2xt – 1 , ... , ∆2xt – p + 1 .
    Если гипотеза о наличии двух единичных корней (φ = 0) отвергается, то тогда следует
оценить статистическую модель
    ∆2xt = ψ xt – 1 + φ ∆xt – 1+ ut
и проверить гипотезу ψ = 0 против альтернативы ψ < 0. Отклонение этой гипотезы
означает признание того, что у ряда xt нет единичных корней, а ее неотклонение – что xt ~
I(1).

Страницы