Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 194 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

значениями статистики Дарбина – Уотсона (0.214 на полном периоде наблюдений и 0.062 на
второй половине этого интервала).
Все указанные признаки являются характерными чертами, присущими результатам
оценивания линейной модели связи между переменными, имеющими стохастический (но не
детерминированный !) тренд и порождаемыми статистически независимыми моделями.
Теоретическое исследование подобной ситуации показывает следующее.
Пусть DGP:
x
t
= x
t – 1
+ ε
1t
, y
t
= y
t – 1
+ ε
2t
, где x
0
= 0, y
0
= 0 , а ε
1t
и ε
2t
–
статистически независимые между собой последовательности одинаково распределенных
случайных величин,
ε
1t
~ N(0, σ
1
2
), ε
2t
~ N(0, σ
2
2
), так что Cov(x
t
, y
t
) = 0. Предположим, что
по
T наблюдениям (x
t
, y
t
), t = 1, 2, …, T , производится оценивание статистической модели
SM:
y
t
= β x
t
+ u
t
, u
t
~ i.i.d. N(0, σ
u
2
), Cov(x
t
, u
t
) = 0.
Стандартная оценка наименьших квадратов для коэффициента
β в этой гипотетической
модели имеет вид
=
∑∑
==
T
t
t
T
t
ttT
xxy
1
2
1
ˆ
β
.
При сделанных предположениях относительно DGP ,
T
β
ˆ
не сходится по вероятности при T
→ ∞
ни к какой константе и имеет предельное распределение, отличное от нормального.
С другой стороны, при выбранной спецификации SM модели, в предположениях этой
модели (а не DGP !) имеем:
Cov(x
t
, y
t
) = Cov(x
t
, β x
t
+ u
t
) = β Cov(x
t
, x
t
) = β D(x
t
),
т.е. оцениваемым параметром является
β = Cov(x
t
, y
t
) / D(x
t
).
Поскольку же в действительности (в DGP)
Cov(x
t
, y
t
) = 0, то и это значение β = 0, так что
если бы гипотетическая модель (соответствующая SM) была верна, то тогда мы бы имели
T
β
ˆ
→ 0 по вероятности.
Далее, при
T → ∞ значения t-статистики t
β
для проверки гипотезы H
0
: β = 0
неограниченно возрастают по абсолютной величине, так что использование таблиц
t-
распределения будет практически всегда приводить к отклонению этой гипотезы, т.е. к
выводу о том, что между переменными
x
t
и y
t
существует линейная регрессионная связь. В
действительности, нетривиальное предельное распределение имеет не статистика
t
β
, а
статистика
(
)
T/1
t
β
, причем предельное распределение последней является
нестандартным.
Что касается статистики Дарбина – Уотсона (DW), то при
T → ∞
DW
→ 0 по вероятности,
и это позволяет распознавать неправильную спецификацию статистической модели в форме
паразитной регрессии. Последнее обстоятельство проявляется в поведении остатков от 
значениями статистики Дарбина – Уотсона (0.214 на полном периоде наблюдений и 0.062 на
второй половине этого интервала).

    Все указанные признаки являются характерными чертами, присущими результатам
 оценивания линейной модели связи между переменными, имеющими стохастический (но не
 детерминированный !) тренд и порождаемыми статистически независимыми моделями.
 Теоретическое исследование подобной ситуации показывает следующее.
    Пусть DGP: xt = xt – 1 + ε1t , yt = yt – 1 + ε2t , где x0 = 0, y0 = 0 , а ε1t и ε2t –
статистически независимые между собой последовательности одинаково распределенных
случайных величин, ε1t ~ N(0, σ12), ε2t ~ N(0, σ22), так что Cov(xt , yt) = 0. Предположим, что
по T наблюдениям (xt , yt), t = 1, 2, …, T , производится оценивание статистической модели
    SM: yt = β xt + ut , ut ~ i.i.d. N(0, σu2), Cov(xt , ut) = 0.
Стандартная оценка наименьших квадратов для коэффициента β в этой гипотетической
модели имеет вид
             T         T     
     β̂ T =  ∑ yt xt   ∑ xt2  .
             t =1      t =1 
При сделанных предположениях относительно DGP , β̂ T не сходится по вероятности при T
→ ∞ ни к какой константе и имеет предельное распределение, отличное от нормального.
    С другой стороны, при выбранной спецификации SM модели, в предположениях этой
модели (а не DGP !) имеем:
    Cov(xt , yt) = Cov(xt , β xt + ut) = β Cov(xt , xt ) = β D(xt),
т.е. оцениваемым параметром является
     β = Cov(xt , yt ) / D(xt).
Поскольку же в действительности (в DGP) Cov(xt , yt ) = 0, то и это значение β = 0, так что
если бы гипотетическая модель (соответствующая SM) была верна, то тогда мы бы имели
     β̂ T → 0 по вероятности.
    Далее, при T → ∞ значения t-статистики tβ для проверки гипотезы H0: β = 0
неограниченно возрастают по абсолютной величине, так что использование таблиц t-
распределения будет практически всегда приводить к отклонению этой гипотезы, т.е. к
выводу о том, что между переменными xt и yt существует линейная регрессионная связь. В
действительности, нетривиальное предельное распределение имеет не статистика tβ , а
статистика      (     )
                      1/ T     tβ , причем предельное распределение последней является
нестандартным.
    Что касается статистики Дарбина – Уотсона (DW), то при T → ∞
    DW → 0 по вероятности,
и это позволяет распознавать неправильную спецификацию статистической модели в форме
паразитной регрессии. Последнее обстоятельство проявляется в поведении остатков от

Страницы