Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

∑
∑
=
−
=
+
=
T
t
t
kT
t
ktt
kr
1
2
1
ˆ
ˆˆ
)(
ε
εε
ε
и суммы их квадратов
)(
1
2
krTQ
M
k
BP
∑
=
=
ε
(Q-статистика Бокса – Пирса).
Если модель правильно специфицирована, то Q
BP
имеет распределение, которое близко к
распределению χ
2
(M – p – q), при условии, что T и M велики, а отношение (M/T) мало.
Гипотеза адекватности подобранной модели отвергается, если
Q
BP
> χ
2
0.95
(M – p – q).
Однако впоследствии было замечено, что при конечных T распределение статистики Q
BP
может существенно отличаться от распределения χ
2
(M – p – q). Используя результаты Люнга
и Бокса [Ljung, Box (1978)], можно показать, что
()
.
22
)5(
)(
+
+
−−−≈
T
MM
qpMQE
BP
Следовательно, если отношение M(M + 5)/(2T + 2) существенно, то использование χ
2
(M – p
– q) приближения не является оправданным.
Люнг и Бокс предложили два способа преодоления проблемы смещения. Первый –
прямой метод – состоит в использовании приближения
Q
BP
≈ χ
2
(E(Q
BP
)) ,
где для E(Q
BP
) используется указанное выше выражение (модифицированный критерий
Бокса – Кокса).
Второй способ учитывает более точное выражение для D(r
ε
(k)) – вместо (1/T) берется (T
– k)/(T
2
+ 2T). Это приводит к Q-статистике Люнга – Бокса
()
∑
=
−
+=
M
k
LB
kT
r
TTQ
1
2
)2(
ε
,
которая имеет то же асимптотическое распределение χ
2
(M – p – q), что и Q
BP
, но зато при
конечных T распределение статистики Q
LB
гораздо ближе к χ
2
(M – p – q), чем
распределение статистики Q
BP
. При этом качество приближения ухудшается, если значения
параметров находятся вблизи границы стационарности или обратимости модели; особенно
это заметно при малых M . Заметим, что хотя первоначально вывод асимптотического
распределения статистики Люнга – Бокса производился в предположении, что ε
t
–
гауссовский белый шум, в дальнейшем было установлено, что этот критерий достаточно
устойчив к отклонениям распределения ε
t
от нормального. Важно только, чтобы была
конечной дисперсия D(ε
t
). ( Последнее условие часто нарушается для рядов, описывающих
эволюцию быстро изменяющихся финансовых показателей – цен на акции, биржевых 
               T −k

               ∑ εˆ εˆ t t+k
   rε (k ) =   t =1
                   T

                 ∑ εˆ
                 t =1
                            t
                             2



и суммы их квадратов
                M
   QBP = T      ∑ rε (k ) (Q-статистика Бокса – Пирса).
                k =1
                        2



Если модель правильно специфицирована, то QBP имеет распределение, которое близко к
распределению χ2(M – p – q), при условии, что T и M велики, а отношение (M/T) мало.
Гипотеза адекватности подобранной модели отвергается, если
    QBP > χ20.95(M – p – q).
    Однако впоследствии было замечено, что при конечных T распределение статистики QBP
может существенно отличаться от распределения χ2(M – p – q). Используя результаты Люнга
и Бокса [Ljung, Box (1978)], можно показать, что
                                 M ( M + 5)
     E (QBP ) ≈ ( M − p − q) −              .
                                    2T + 2
Следовательно, если отношение M(M + 5)/(2T + 2) существенно, то использование χ2(M – p
– q) приближения не является оправданным.
    Люнг и Бокс предложили два способа преодоления проблемы смещения. Первый –
прямой метод – состоит в использовании приближения
      QBP ≈ χ2(E(QBP)) ,
где для E(QBP) используется указанное выше выражение (модифицированный критерий
Бокса – Кокса).
    Второй способ учитывает более точное выражение для D(rε(k)) – вместо (1/T) берется (T
– k)/(T2 + 2T). Это приводит к Q-статистике Люнга – Бокса
                      M
                             r2
    QLB = T (T + 2) ∑ ε ,
                     k = 1 (T − k )
которая имеет то же асимптотическое распределение χ2(M – p – q), что и QBP , но зато при
конечных T распределение статистики QLB гораздо ближе к χ2(M – p – q), чем
распределение статистики QBP . При этом качество приближения ухудшается, если значения
параметров находятся вблизи границы стационарности или обратимости модели; особенно
это заметно при малых M . Заметим, что хотя первоначально вывод асимптотического
распределения статистики Люнга – Бокса производился в предположении, что εt –
гауссовский белый шум, в дальнейшем было установлено, что этот критерий достаточно
устойчив к отклонениям распределения εt от нормального. Важно только, чтобы была
конечной дисперсия D(εt). ( Последнее условие часто нарушается для рядов, описывающих
эволюцию быстро изменяющихся финансовых показателей – цен на акции, биржевых

Страницы