Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

В обоих случаях все P-значения для статистики Q
LB
больше 0.05, так что гипотеза о том, что
в специфицированных моделях составляющие ε
t
образуют процесс белого шума, не
отвергается. Заметим также, что в обоих случаях не отвергается гипотеза нормальности
распределения ε
t
: P-значения критерия Jarque – Bera равны, соответственно, 0.480 и 0.608.
Об оправданности применения последнего критерия при анализе временных рядов будет
сказано ниже.
Проверка предположения о нормальности
Многие статистические процедуры, используемые при анализе временных рядов,
опираются на предположение гауссовости (нормальности) анализируемого ряда. Последнее
означает, что для любого набора t
1
, …, t
n
случайные величины
n
tt
XX
,,
1
K имеют
совместное нормальное распределение.
Имея в распоряжении одну единственную реализацию временного ряда, просто
невозможно проверить справедливость такого утверждения. В то же время, еще возможно
проверить гипотезу о нормальности одномерного (маргинального) распределения
стационарного временного ряда. Соответствующая процедура была предложена в работе
Ломницкого [Lomnicki (1961)]. Пусть
()
∑
=
−=
T
t
k
tk
XX
T
m
1
1
,
3 ,
2
2
4
2
2/3
2
3
1
−==
m
m
G
m
m
G .
В указанной работе было доказано, что если X
t
– стационарный гауссовский временной ряд,
то при больших T статистики G
1
и G
2
имеют приближенно нормальные распределения с
нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями
. )(
24
)( , )(
6
)(
4
2
3
1
k
T
GDk
T
GD
kk
∑∑
∞
∞−=
∞
∞−=
==
ρρ
Оценить эти дисперсии можно, заменив бесконечные суммы степеней автокорреляций ρ(k)
конечными суммами степеней выборочных автокорреляций r(k). Используя такие оценки
),(
ˆ
1
GD ),(
ˆ
2
GD получаем статистики
)(
ˆ
,
)(
ˆ
2
2
2
1
1
1
GD
G
G
GD
G
G
==
∗∗
,
которые при гипотезе нормальности имеют распределения, аппроксимируемые стандартным
нормальным распределением. Поскольку последние статистики еще и асимптотически
независимы, то при T → ∞
() ()
. )2(
2
2
2
2
1
χ
≈+
∗∗
GG 
В обоих случаях все P-значения для статистики QLB больше 0.05, так что гипотеза о том, что
в специфицированных моделях составляющие εt образуют процесс белого шума, не
отвергается. Заметим также, что в обоих случаях не отвергается гипотеза нормальности
распределения εt : P-значения критерия Jarque – Bera равны, соответственно, 0.480 и 0.608.
Об оправданности применения последнего критерия при анализе временных рядов будет
сказано ниже.

   Проверка предположения о нормальности
   Многие статистические процедуры, используемые при анализе временных рядов,
опираются на предположение гауссовости (нормальности) анализируемого ряда. Последнее
означает, что для любого набора t1, …, tn случайные величины X t 1 ,K, X t n имеют
совместное нормальное распределение.
    Имея в распоряжении одну единственную реализацию временного ряда, просто
невозможно проверить справедливость такого утверждения. В то же время, еще возможно
проверить гипотезу о нормальности одномерного (маргинального) распределения
стационарного временного ряда. Соответствующая процедура была предложена в работе
Ломницкого [Lomnicki (1961)]. Пусть
            1 T
     mk = ∑ ( X t − X ) ,
                            k

           T t =1
            m             m
     G1 = 33/ 2 , G2 = 42 − 3 .
           m2             m2
В указанной работе было доказано, что если Xt – стационарный гауссовский временной ряд,
то при больших T статистики G1 и G2 имеют приближенно нормальные распределения с
нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями
                 6 ∞ 3                        24 ∞ 4
     D(G1 ) =       ∑
                T k =−∞
                       ρ ( k  ) ,  D  (G2 ) =    ∑ ρ (k ) .
                                              T k =−∞
Оценить эти дисперсии можно, заменив бесконечные суммы степеней автокорреляций ρ(k)
конечными суммами степеней выборочных автокорреляций r(k). Используя такие оценки
Dˆ (G1 ), Dˆ (G2 ), получаем статистики
               G1                  G2
     G1∗ =            , G2∗ =               ,
              Dˆ (G )
              1                 2 Dˆ (G )
которые при гипотезе нормальности имеют распределения, аппроксимируемые стандартным
нормальным распределением. Поскольку последние статистики еще и асимптотически
независимы, то при T → ∞
   (G ) + (G )
     ∗ 2
     1
            ∗ 2
            2     ≈ χ 2 (2) .

Страницы