Колебательные процессы. Новиков С.М. - 1 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Основные теоретические сведения
Колебаниями называются процессы, характеризующиеся той или иной
степенью повторяемости во времени. Простейшим колебательным движением
является гармоническое, т.е. такое колебание, при котором какая-либо характе-
ристика системы (например, координата грузика на пружинке, угол отклонения
маятника и т.п.) изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Такая
система называется гармоническим осциллятором и реализуется, если соот-
ветствующее рассматриваемой модели уравнение динамики (например, второй
закон Ньютона или основное уравнение динамики
вращательного движения)
можно привести к виду
2
2
0
2
ω 0
dx
x
dt
+
= , (1)
где под
x понимается упомянутая выше характеристика системы. Общим реше-
нием дифференциального уравнения (1) является уравнение гармонических ко-
лебаний
x = A
.
cos(ω
0
t+ϕ
0
) (2)
где
A - амплитуда, (ω
0
t+ϕ
0
) - фаза, ϕ
0
- начальная фаза колебаний. Значения
A и ϕ
0
определяются из начальных условий, т.е. по значениям отклонения x
0
и
скорости
V
0
в начальный момент времени. Входящий в это уравнение параметр
колебательного процесса
ω
0
, называемый циклической частотой собственных
колебаний (или собственной частотой), связан с периодом T и частотой ν ко-
лебаний соотношением
0
2π
ω 2πν
T
==
. (3)
Собственная частота зависит от свойств колеблющейся системы. Напри-
мер, при малых колебаниях математического маятника она выражается через
ускорение свободного падения
g и длину маятника l
0
ω
g
l
= , (4)
при малых колебаниях грузика на пружине
она выражается через его массу m и коэф-
фициент упругости пружины k
0
ω
k
m
= . (5)
В случае негармонических колебаний
величина ω = 2π/Т = 2πν называется
круговой или циклической частотой сис-
темы. Решение ряда вопросов, в частности, сложение нескольких колебаний
x
x
o
0
ω
0
A
r
φ
0
Рис.1. Векторная диаграмма
                     КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ

                    Основные теоретические сведения

     Колебаниями называются процессы, характеризующиеся той или иной
степенью повторяемости во времени. Простейшим колебательным движением
является гармоническое, т.е. такое колебание, при котором какая-либо характе-
ристика системы (например, координата грузика на пружинке, угол отклонения
маятника и т.п.) изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Такая
система называется гармоническим осциллятором и реализуется, если соот-
ветствующее рассматриваемой модели уравнение динамики (например, второй
закон Ньютона или основное уравнение динамики вращательного движения)
можно привести к виду
                                 d 2x
                                    2
                                      + ω02 x = 0 ,                       (1)
                                 dt
где под x понимается упомянутая выше характеристика системы. Общим реше-
нием дифференциального уравнения (1) является уравнение гармонических ко-
лебаний
                               x = A.cos(ω0t+ϕ0)                          (2)
где A - амплитуда, (ω0 t+ϕ0) - фаза, ϕ0 - начальная фаза колебаний. Значения
A и ϕ0 определяются из начальных условий, т.е. по значениям отклонения x0 и
скорости V0 в начальный момент времени. Входящий в это уравнение параметр
колебательного процесса ω0, называемый циклической частотой собственных
колебаний (или собственной частотой), связан с периодом T и частотой ν ко-
лебаний соотношением
                                           2π
                                     ω0 =      = 2πν .                    (3)
                                           T
     Собственная частота зависит от свойств колеблющейся системы. Напри-
мер, при малых колебаниях математического маятника она выражается через
ускорение свободного падения g и длину маятника l
                       r
                       A                              g
           ω0                                     ω0 =  ,              (4)
                                                      l
                                 при малых колебаниях грузика на пружине
                   φ0
                                 она выражается через его массу m и коэф-
                                 фициент упругости пружины k
             0   xo         x                       k
                                              ω0 =    .                (5)
 Рис.1. Векторная диаграмма                         m
                                     В случае негармонических колебаний
величина ω = 2π/Т = 2πν называется круговой или циклической частотой сис-
темы. Решение ряда вопросов, в частности, сложение нескольких колебаний

Страницы