Колебательные процессы. Новиков С.М. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

5
Примеры решения задач
Пример 1
а
Предположим, что по оси вращения Земли обра-
зовано сквозное отверстие с гладкими стенками
(рис.4). У поверхности Земли в образовавшуюся
шахту опустили без начальной скорости неболь-
шое тело. Определить период его колебательного
движения относительно центра Земли. Трением и
сопротивлением воздуха пренебречь. Радиус Земли
R
З
= 6400 км, ускорение свободного падения у по-
верхности Земли g = 9,8 м/с
2
. Указание: учесть,
что модуль силы тяготения, действующей на
тело массы m в шахте на расстоянии r от цен-
тра Земли, определяется формулой
T
З
r
Fmg
R
= .
С
Ю
Рис. 4. К примеру 1
а
.
Решение
Выберем систему координат с началом в
центре Земли и осью Ox, совпадающей с осью
шахты (рис. 5). Так как сила тяготения направ-
лена к центру Земли, то ее проекция на ось ox
равна
x
З
x
Fmg
R
=− и противоположна по знаку
координате x.
x
x
F
r
O
Рис. 5.
С учетом этого уравнение второго закона Ньютона запишем в виде
2
2
З
dx mg
mx
R
dt
=− .
После преобразования получим уравнение типа (1)
2
2
0
З
dx g
x
R
dt
+
= .
Тогда
ω
o
З
g
R
= и , с учетом формулы (2), 2π
З
T
g
= .
Произведя расчет, получим T = 5000 с = 85 мин.
Попробуйте самостоятельно сравнить полученную формулу с формулой
периода вращения спутника Земли вблизи ее поверхности. 
                                   5
                           Примеры решения задач

     Пример 1а
Предположим, что по оси вращения Земли обра-               С
зовано сквозное отверстие с гладкими стенками
(рис.4). У поверхности Земли в образовавшуюся
шахту опустили без начальной скорости неболь-
шое тело. Определить период его колебательного
движения относительно центра Земли. Трением и
сопротивлением воздуха пренебречь. Радиус Земли
RЗ = 6400 км, ускорение свободного падения у по-
верхности Земли g = 9,8 м/с2. Указание: учесть,
что модуль силы тяготения, действующей на
тело массы m в шахте на расстоянии r от цен-
                                          r                 Ю
тра Земли, определяется формулой FT = mg     .
                                          RЗ       Рис. 4. К примеру 1а.

                                     Решение
    Выберем систему координат с началом в                      x
центре Земли и осью Ox, совпадающей с осью                     r
шахты (рис. 5). Так как сила тяготения направ-                 Fx
лена к центру Земли, то ее проекция на ось ox
                 x                                             O
равна Fx = − mg    и противоположна по знаку
                RЗ
координате x.

                                                  Рис. 5.
    С учетом этого уравнение второго закона Ньютона запишем в виде
                                   d 2x   mg
                                m 2 =−       x.
                                   dt     RЗ
    После преобразования получим уравнение типа (1)
                                 d 2x g
                                      +   x =0.
                                 dt 2 RЗ
                 g                                    R
    Тогда ωo =       и , с учетом формулы (2), T = 2π З .
                RЗ                                    g
    Произведя расчет, получим T = 5000 с = 85 мин.
    Попробуйте самостоятельно сравнить полученную формулу с формулой
периода вращения спутника Земли вблизи ее поверхности.

Страницы