Колебательные процессы. Новиков С.М. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

6
Пример 1
б
Тонкое неподвижное кольцо радиуса R = 1
мм равномерно заряжено так, что полный
заряд Q
1
=1 нКл. Вдоль оси кольца, скользя
по гладкому диэлектрическому стержню,
совершает малые колебания маленький
шарик с зарядом Q
2
= -1 нКл и массой m =
1 мг (рис.6). Найти собственную цикличе-
скую частоту этих колебаний..
R Q
Q o
Рис. 6.
Решение
Выберем ось ox вдоль оси кольца
с началом отсчета в его центре
(рис. 7). Каждый элемент кольца раз-
мером dl имеет заряд dQ и в соответ-
ствии с законом Кулона притягивает к
себе шарик с силой, модуль которой
равен
21
2
1
4πε
o
QdQ
dF
r
⋅
=⋅
r
.
Q
Q o
dF
r
α
r dl
Рис. 7.
Сумма (интеграл) проекций этих сил от всех элементов кольца на верти-
кальную плоскость из соображений симметрии равна нулю. Модуль результи-
рующей проекций этих сил на ось Оx отличен от нуля и находится интегриро-
ванием
1
21
2
1
sin α sin α
4πε
x
o
Q
QdQ
FdF
r
⋅
=⋅= ⋅ =
∫∫
1
2
1
2
1
sin α
4πε
o
Q
Q
dQ
r
=⋅
∫
21
2
1
sin α
4πε
o
QQ
r
⋅
=⋅
Учтем, что
21
QQ
=
и при малых колебаниях r ≈ R, sin α tgα
x
R
≈=, где x –
отклонение шарика от центра кольца. Тогда
2
11 1
23
11
4πε 4πε
x
oo
x
QQ Q
Fx
R
RR
⋅
=⋅ ⋅=⋅⋅.
Направление проекции результирующей силы F
x
всегда противоположно
направлению отклонения x. Поэтому это равенство можно записать в виде
2
1
3
1
4πε
x
o
Q
Fx
R
=
−⋅⋅.
С учетом этого запишем второй закон Ньютона 
                                            6
              б
    Пример 1
Тонкое неподвижное кольцо радиуса R = 1
мм равномерно заряжено так, что полный                         R          Q
заряд Q1=1 нКл. Вдоль оси кольца, скользя
по гладкому диэлектрическому стержню,
совершает малые колебания маленький                      Q            o
шарик с зарядом Q2 = -1 нКл и массой m =
1 мг (рис.6). Найти собственную цикличе-
скую частоту этих колебаний..                           Рис. 6.

                                        Решение
     Выберем ось ox вдоль оси кольца
с началом отсчета в его центре                                       Q
(рис. 7). Каждый элемент кольца раз-
мером dl имеет заряд dQ и в соответ-
ствии с законом Кулона притягивает к                      Qr       o
себе шарик с силой, модуль которой                         dF α
равен                                                           r    dl
            r   1     Q ⋅ dQ
          dF =       ⋅ 2 2 1.                            Рис. 7.
               4πε o    r
     Сумма (интеграл) проекций этих сил от всех элементов кольца на верти-
кальную плоскость из соображений симметрии равна нулю. Модуль результи-
рующей проекций этих сил на ось Оx отличен от нуля и находится интегриро-
ванием
                                              1     Q ⋅ dQ
                       Fx = ∫ dF ⋅ sin α = ∫       ⋅ 2 2 1 sin α =
                                           Q
                                             4πε o    r
                                                1

                         1    Q                  1     Q ⋅Q
                    =        ⋅ 22 sin α ∫ dQ1 =       ⋅ 2 2 1 sin α
                        4πε o r        Q
                                                4πε o    r
                                        1

                                                                              x
    Учтем, что Q2 = Q1 и при малых колебаниях r ≈ R, sin α ≈ tg α =             , где x –
                                                                              R
отклонение шарика от центра кольца. Тогда
                             1 Q1 ⋅ Q1 x          1 Q12
                       Fx =      ⋅       ⋅     =     ⋅  ⋅x.
                            4πε o R 2       R 4πε o R3
    Направление проекции результирующей силы Fx всегда противоположно
направлению отклонения x. Поэтому это равенство можно записать в виде
                                        1 Q12
                                Fx = −       ⋅   ⋅x.
                                       4πε o R3
    С учетом этого запишем второй закон Ньютона

Страницы