ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
2
одинакового направления, значительно облегчается, если воспользоваться
ме-
тодом
векторных диаграмм. Этот метод основан на том, что при вращении
вектора
A
r
с угловой скоростью ω
о
его проекция на ось Ox будет изменяться по
гармоническому закону x = Acos(ω
о
t+ϕ
o
) (рис.1). Следовательно, проекция кон-
ца вектора на ось Ox будет совершать гармоническое колебание с амплитудой,
равной длине вектора
A
r
. Если характеристика x участвует одновременно в не-
скольких колебательных движениях одного направления, то результирующее
движение можно представить в виде суммы проекций вращающихся векторов.
На рис. 2 показан результат
сложения двух колебаний характе-
ристики x = x
1
+ x
2
с одинаковой
частотой. Смещение характеристики
x, равное сумме смещений x
1
=
A
1
.
cos(ω
0
t+ϕ
01
) и x
2
= A
2
.
cos(ω
0
t+ϕ
02
), можно представить в виде
проекции вращающегося вектора
12
A
AA=+
rr r
. Применив теорему ко-
синусов, получим амплитуду ре-
зультирующего колебания
222
12 12 0201
2cos(φφ)AAA AA=++ −
. (6)
Начальную фазу результирующего колебания можно определить из по-
строения:
101202
12
0
12 1 01 2 02
sin φ sin φ
tgφ
cosφ cos φ
AA
yy
xx A A
+
+
==
++
. (7)
Если тело совершает одновременно два взаимно перпендикулярных коле-
бания по законам
x=A
.
cos(ω
01
t+ϕ
01
) и y=B
.
cos(ω
02
t+ϕ
02
) то характер его
движения будет зависеть от разности начальных фаз и соотношения частот ко-
лебаний. Например, если частоты обоих колебаний одинаковы, то траектория
движения тела представляет собой эллипс, ориентация и величина полуосей ко-
торого зависят от амплитуд A, B и разности начальных фаз (ϕ
02
-ϕ
01
). Если же
частоты различны, то траектория результирующего движения имеет вид слож-
ных кривых. В частном случае рационального отношения частот
ω
01
:
ω
02
дви-
жущаяся точка через определенные промежутки времени возвращается в то же
положение. Такая траектория называется
фигурой Лиссажу (см. пример 4.).
На практике гармонические колебания реализуются только с некоторой
степенью приближения. Во всякой реальной колебательной системе имеются
силы сопротивления, которые приводят к затуханиям колебаний. В наиболее
часто встречающемся случае сила сопротивления
c
F
r
пропорциональна величи-
не скорости V
r
y
A
r
1
A
r
A
r
2
x
0
x
2
x
x
1
y
1
y
2
ϕ
o
Рис. 2. Сложение двух колебаний
2
одинакового направления, значительно облегчается, если воспользоваться ме-
тодом векторных диаграмм. Этот метод основан на том, что при вращении
r
вектора A с угловой скоростью ωо его проекция на ось Ox будет изменяться по
гармоническому закону x = Acos(ωоt+ϕo) (рис.1). Следовательно, проекция кон-
ца вектора на ось Ox будет совершать гармоническое колебание с амплитудой,
r
равной длине вектора A . Если характеристика x участвует одновременно в не-
скольких колебательных движениях одного направления, то результирующее
движение можно представить в виде суммы проекций вращающихся векторов.
На рис. 2 показан результат r
сложения двух колебаний характе- A
ристики x = x1 + x2 с одинаковой r
частотой. Смещение характеристики A 1
x, равное сумме смещений x1 = y1 y
. .
A1 cos(ω0t+ϕ01) и x2 = A2 cos(ω0
t+ϕ02), можно представить в виде
r
A2
проекции вращающегося вектора
r r r y2
A = A1 + A2 . Применив теорему ко- ϕo
синусов, получим амплитуду ре-
зультирующего колебания 0 x1 x2 x x
Рис. 2. Сложение двух колебаний
2 2 2
A = A1 + A2 + 2 A1 A2 cos(φ 02 − φ01 )
. (6)
Начальную фазу результирующего колебания можно определить из по-
строения:
y + y2 A1 sin φ01 + A2 sin φ02
tg φ0 = 1 = . (7)
x1 + x2 A1 cosφ01 + A2 cosφ02
Если тело совершает одновременно два взаимно перпендикулярных коле-
. .
бания по законам x=A cos(ω01 t+ϕ01) и y=B cos(ω02 t+ϕ02) то характер его
движения будет зависеть от разности начальных фаз и соотношения частот ко-
лебаний. Например, если частоты обоих колебаний одинаковы, то траектория
движения тела представляет собой эллипс, ориентация и величина полуосей ко-
торого зависят от амплитуд A, B и разности начальных фаз (ϕ02-ϕ01). Если же
частоты различны, то траектория результирующего движения имеет вид слож-
ных кривых. В частном случае рационального отношения частот ω01:ω02 дви-
жущаяся точка через определенные промежутки времени возвращается в то же
положение. Такая траектория называется фигурой Лиссажу (см. пример 4.).
На практике гармонические колебания реализуются только с некоторой
степенью приближения. Во всякой реальной колебательной системе имеются
силы сопротивления, которые приводят к затуханиям r колебаний. В наиболее
часто встречающемся случае сила сопротивления Fc пропорциональна величи-
r
не скорости V
