Компьютерное моделирование. Новиков Б.Ю. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

7
Лабораторная работа 1.2.
Компьютерное моделирование решения уравнений
Начальные данные
Требуется решить уравнение f(x) = 0 либо методом Ньютона, либо
методом пропорциональных частей, либо методом итерации. Положительно
будет оценено, если студент применит для решения уравнения
одновременно и метод Ньютона, и метод пропорциональных частей.
Уравнения к данному заданию приведены в наборе данных 3 Приложения 3,
варианты заданий даны в Приложении 4.
В качестве корней уравнения должны быть получены одно или
несколько значений аргумента х, при которых значение функции f(x) равно
нулю, или иначе говоря, которые являются абсциссами точек пересечения
графика у = f(x) с осью абсцисс.
Теория
Решение уравнений может быть использовано для определения таких
условий, при которых зависимый параметр достигнет установленного
значения. Например, если известен закон Т = f(r) распределения
температуры Т от расстояния r на поверхности материала вокруг области
локального воздействия лазерного излучения, то решение уравнения f(r) = 0
позволит определить границу, до которой распространяется тепло.
Метод Ньютона (метод касательных): Пусть кривая у = f(x)
изображена на координатной плоскости так, что очевидно наличие корней
уравнения. Метод применяется, если кривая у = f(x) не меняет знак в
промежутке [a
1
, b
1
], в котором заключен корень. Если вторая производная
функции f ’’(x) сохраняет в этом промежутке знак, то за первое приближение
к искомому корню уравнения следует принять то из чисел a
1
или b
1
, для
которого выполняется условие f(x)· f ’’(x) > 0. В точке кривой,
соответствующей абсциссе первого приближения (пусть b
1
), проводится
касательная. Точка пересечения этой касательной с осью абсцисс
представляет приближение к корню b
2
, лучшее, чем b
1
, и расположенное с
той же стороны от корня. Тогда:
)('
)(
1
1
12
bf
bf
bb
.
Повторим это рассуждение для нового приближения b
2
и далее.
Последовательность b
1
, b
2
, b
3
, b
4
, … стремится к искомому корню.
Метод пропорциональных частей (метод хорд): Пусть кривая у = f(x)
изображена на координатной плоскости так, что очевидно наличие корней
уравнения. Метод применяется, если на промежутке [a
1
, b
1
], в котором
заключен корень уравнения f(x) = 0, кривая f ’’(x) не меняет знака и f ’(x) не
обращается в нуль. Проведем отрезок между теми точками кривой,

Страницы