Компьютерное моделирование. Новиков Б.Ю. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

8
абсциссы которых соответствуют числам a
1
и b
1
. Точка пересечения этого
отрезка с осью абсцисс представляет приближение к корню a
2
. Тогда:
)()(
)()(
11
1111
2
bfaf
bfaafb
a
.
Повторим это рассуждение для нового промежутка приближения и
далее. Последовательность a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, ... стремится к искомому корню.
Метод итерации: Напишем исходное уравнение f(x) = 0 в виде
φ(х) = ψ(х). Выбирается значение х
0
абсциссы приблизительной точки
пересечения кривых у = φ(х) и у = ψ(х). При х
0
определим значение
ординаты у
0
для той кривой, для которой наклон касательной имеет
меньшую по абсолютному значению величину, или иначе говоря, которая
расположена под меньшим углом к оси абсцисс, то есть производная
которой имеет меньшее значение в данной точке. Тогда подстановка
значения у
0
в другую функцию даст возможность определить лучшее
приближение х
1
к искомому корню уравнения. Повторим это рассуждение
для нового приближения х
1
и далее. Последовательность х
0
, х
1
, х
2
, х
3
, ...
стремится к искомому корню.
Обработка задания до программного моделирования
При решении методом Ньютона либо методом пропорциональных
частей сначала строится грубое изображение кривой у = f(x) на
координатной плоскости. Существенно, чтобы было очевидно наличие
точек пеересечения кривой с осью абсцисс. Эти точки и будут являтся
корнями уравнения f(x) = 0. Требуется найти все корни уравнения,
следовательно в программе, моделирующей численный метод, должно быть
предусмотрено приближение к каждой точке.
По методу Ньютона производится проверка первого приближения на
условие: f(x)· f ’’(x) > 0. Если же проверяемая точка не удовлетворяет этому
условию, то первое приближение выбирается с другой стороны от точки
пересечения кривой с осью абсцисс. Следует заметить, что таким образом
первое приближение в методе Ньютона располагается со стороны
положительной выпуклости функции.
Для метода Ньютона и метода пропорциональных частей при выборе
первого приближения необходимо обратить внимание, чтобы не было
параллельности оси абсцисс и перегиба кривой у = f(x) на промежутке
[a
1
, b
1
].
При решении методом итерации тоже сначала строится грубое
изображение кривых у = φ(х) и у = ψ(х). Существенно, чтобы было очевидно
наличие точек пеересечения кривых. Абсциссы этих точек и будут являтся
корнями уравнения f(x) = 0.

Страницы