Элементы механики сплошной среды. Новиков С.М. - 2 стр.

                                      2

     Любую замкнутую поверхность можно представить как сумму элементов
поверхности ΔSi. Тогда изменение массы внутри замкнутой поверхности в еди-
ницу времени будет определяться выражением
                                Δm
                              −      = ∑ ji ⋅ cosαi ⋅ ΔSi ,
                                Δt      i
где отрицательный знак в левой части связан с тем, что при вытекании среды
наружу масса уменьшается. В интегральной форме это уравнение выглядит сле-
дующим образом
                                     dm       r r
                                   −      = ∫ j ⋅ dS ,                    (4)
                                      dt S
     r r
где dS = n ⋅ dS . Знак ∫ указывает на то, что интегрирование производится по
замкнутой поверхности. Приведенное выше уравнение называется уравнением
непрерывности. Аналогичные уравнения можно написать для любой физиче-
ской величины, для которой выполняется закон сохранения (энергии, электри-
ческого заряда и т.д.). В стационарном случае изменение массы внутри объема
равно нулю и уравнение непрерывности принимает вид
                                     r r
                                   ∫ j ⋅ dS = 0 .                        (5)
                                  S
    Применив это уравнение для трубки тока (рис.1) в стационарном случае,
можно получить уравнение неразрывности струи
                                  ρ1 ⋅ V1 ⋅ S1 = ρ 2 ⋅ V2 ⋅ S2 .        (6)
    Сплошная среда, в которой полностью отсутствует внутреннее трение (вяз-
кость), называется идеальной. В такой среде вдоль любой линии тока стацио-
нарно текущей несжимаемой среды выполняется уравнение Бернулли
                               ρ ⋅V 2
                                       + ρ ⋅ g ⋅ h + P = const ,        (7)
                                  2
где P- давление, h - вертикальная координата элемента объема среды.
    Уравнение Бернулли является следствием закона сохранения механической
энергии. Поэтому алгоритм его использования при решении задач аналогичен
алгоритму решения задач на закон сохранения механической энергии.
    В реальных жидкостях и газах в большей или меньшей степени проявляет-
ся внутреннее трение между слоями среды или вязкость. Например, если меж-
ду двумя параллельными достаточно длинными пластинами (их длина L>> d,
где d - расстояние между пластинками) находится жидкость (или газ), то при
движении пластинок на каждую из них действует сила вязкого трения (рис.3),
модуль которой определяется формулой Ньютона
                                                V −V
                                      FТр = η 2 1 S ,                   (8)
                                                    d
где S- площадь пластины, η - коэффициент пропорциональности, зависящий от
природы и состояния (например, температуры) жидкости и называемый коэф-