Элементы механики сплошной среды. Новиков С.М. - 8 стр.

                                                8

равны 1 мм. Найти мощность, которую
развивают силы вязкости, действующие на
диск, при вращении его с угловой скоростью                                      2R
ω = 60 с . Краевыми эффектами пренеб-
          -1

речь.                                                                       Рис. 8.
                                           Решение
                                               В механике двращательного движения
                                        твердого тела мощность определяется по
                                        формуле N = M ω, где момент силы вязко-
           R                                                    .

                                        го трения M можно определить, интегрируя
                   r                    моменты сил вязкого трения, действующих
                                        на отдельные элементы диска.
       dr                               Для этого выделим на диске осесимметрич-
                                        ный кольцевой элемент шириной dr на
                                        расстоянии r от оси (рис. 9). Его площадь
             Рис. 9.                    dS = 2π.r.dr, скорость V = ω .r, а сила
вязкого трения, действующая на него со стороны жидкости, определяется
фомулой Ньютона (9)
                                     ΔV              ω⋅r
                            dF = η      2 ⋅ dS = η        2 ⋅ 2π ⋅ r ⋅ dr .
                                      h               h
    Здесь учтено, что силы трения действуют на верхнюю и нижнюю поверх-
ности. Момент силы трения, действующей на кольцевой элемент, определяется
по формуле
                                          dM = r ⋅ dF ,
а мощность
                           R
                                   ω⋅r               π ⋅ ω2 η ⋅ R 4
N = M ⋅ ω = ω ⋅ ∫ dM = ω ⋅ ∫ r ⋅ η     4π ⋅ r ⋅ dr =                .
                           0
                                    h                     h
    Проверим размерность и произведем расчет:
                 Па ⋅ с ⋅ с −2 ⋅ м 4
           [ ]
            N  =                     = Н ⋅ м −2 ⋅ с −1 ⋅ м3 = Н ⋅ м ⋅ с −1 = Дж с = Вт .
                         м
                                 3,14 ⋅ 0,008 ⋅ 3600 ⋅ 10−4
                           N=                                  = 9 Вт .
                                            0,001
      Ответ: мощность N = 9 Вт.