Механика материальной точки. Новиков С.М. - 12 стр.

ной навстречу “Жигулям”. Началом отсчета времени будем считать момент
фиксации указанных в условии расстояний. В принятой системе отсчета закон
                                    ⎧ x1 = x01 + V1xt ,
движения грузовика будет иметь вид: ⎨
                                    ⎩ y1 = y01 + V1 yt.
                                        ⎧ x = x02 + V2 xt ,
Соответственно для “Жигулей”: ⎨ 2
                                        ⎩     y2 = 0.
       По условию начальные координаты и проекции скоростей равны:
⎧      x01 = L1 ⋅ cosα = 500 ⋅ 0,5 м = 250 м,          ⎧ x02 = L2 = 1000 м,
⎪ y = L ⋅ sin α ≈ 500 ⋅ 0,87 м ≈ 433 м,                ⎪        y02 = 0,
⎪       01     1                                       ⎪
⎨                                                      ⎨
⎪ V1x = −V1 ⋅ cos α = −15 ⋅ 0,5 м/с = −7,5 м/с,        ⎪V2 x = −V2 = −20 м/с,
⎪⎩V1 y = −V1 ⋅ sin α ≈ −15 ⋅ 0,87м/с ≈ −13,0 м/с,      ⎪⎩      V2 y = 0.
    Расстояние S между автомобилями определяется с помощью известной из
геометрии формулы

     S=    ( x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2       или

           ( x01 + V1xt − x02 − V2 xt )2 + ( y01 + V1 yt )
                                                             2
     S=                                                          .

     Минимальное сближение автомобилей можно найти из условия минимума
этой функции, т.е. равенства нулю производной dS/dt = 0. Чтобы избежать гро-
моздких выкладок подставим в выражение для расстояния S численные данные,
а затем найдем производную от подкоренного выражения (его минимум соот-
ветствует минимуму S).
     d ⎡
          (12,5t − 70 ) + ( −13t + 435 ) ⎤ = 0,
                       2                2
     dt ⎣                                 ⎦
     или 2 ⋅ 12,5 ⋅ (12,5tmin − 70 ) − 2 ⋅ 13 ( −13tmin + 435 ) = 0,

где tmin – время минимального сближения. После вычислений получаем
tmin≈46,1 с. Подставляя найденное значение tmin в выражение для расстояния
S, найдем минимальное сближение автомобилей

                S min ≈    (12,5 ⋅ 46,1 − 750 )2 + (13 ⋅ 46,1 − 435)2 = 240 м.
     Для получения ответа на последний вопрос задачи необходимо использо-
вать закон сложения скоростей (1.7). Будем считать, что движущаяся система
отсчета имеет осиr координат,
                     r r         параллельные
                                   r            осям координат выбранной ранее
системы. Тогда V ' = V − V0 , где V0 = {60 м/с;0;0} - вектор скорости вертолета.
Для проекций скорости грузовика получаем