Механика материальной точки. Новиков С.М. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

110
11
' ( 7,5 60) м/с 67,5 м/с,
' 13 м/с,
xxx
yy
VVV
VV
=−=−− =−
⎧
⎨
==−
⎩
а для “Жигулей”
220
11
'80 м/с,
'0.
xxx
yy
VVV
VV
=−=−
⎧
⎨
==
⎩
Используя эти результаты, рассчитываем модули скоростей
грузовика
22
11 1
'(')(')68,7 м/с 247 км/ч
xy
VV V=+≈ ≈
и “Жигулей”
22
80 м/с = 288 км/ч.
x
VV
′′
==
Пример 2
Две материальные точки движутся по одной прямой, совпадающей с осью
OX декартовой системы координат. В начальный момент времени первая точка
имела координату x
10
= 4 м, а вторая x
20
= 8 м. Скорости точек меняются по за-
конам V
1x
= bt + сt
2
и V
2x
= -bt + сt
2
, где b = 1 м/с
2
, с = 2 м/с
3
. Определить уско-
рения точек в момент их встречи.
Решение
Для ответа на вопрос задачи предварительно необходимо найти время
встречи и зависимости ускорений точек от времени. Условием встречи является
равенство координат. Поэтому вначале определим законы движения по
формуле
(1.6)
()
()
1
2
23
2
11 1 1
23
2
22 2 2
,
23
.
23
bt ct
xVdtC btctdtC C
bt ct
x
V dt C bt ct dt C C
= ⋅+=++ += + +
= ⋅+=−+ +=− + +
∫∫
∫∫
Константу С
1
определим из начального условия x
1
(t=0)=x
10
. Используя это
равенство, получаем С
1
= x
10
. Аналогично можно получить, что С
2
= x
20
. Тогда
законы движения точек примут вид
x
1
= x
10
+ bt
2
/2 + сt
3
/3,
x
2
= x
20
– bt
2
/2 + сt
3
/3.
Приравнивая эти выражения в искомый момент времени t
В
, получаем
x
10
+ bt
В
2
/2 + сt
В
3
/3 = x
20
– bt
В
2
/2 + сt
В
3
/3.
Выполнив преобразования, находим
20 10
.
B
x
x
t
b
−
=±
После вычислений выбираем положительное значение
t
В
= 2 с. 
                       ⎧V '1x = V1x − V0 x = (−7,5 − 60) м/с = −67,5 м/с,
                       ⎨
                       ⎩               V '1 y = V1 y = −13 м/с,

    а для “Жигулей”
                                  ⎧V '2 x = V2 x − V0 x = −80 м/с,
                                  ⎨
                                  ⎩        V '1 y = V1 y = 0.

    Используя эти результаты, рассчитываем модули скоростей
    грузовика      V '1 = (V '1x ) 2 + (V '1 y ) 2 ≈ 68,7 м/с ≈ 247 км/ч

    и “Жигулей” V2′ = V2′x = 80 м/с = 288 км/ч.

Пример 2
    Две материальные точки движутся по одной прямой, совпадающей с осью
OX декартовой системы координат. В начальный момент времени первая точка
имела координату x10 = 4 м, а вторая x20 = 8 м. Скорости точек меняются по за-
конам V1x = bt + сt2 и V2x = -bt + сt2, где b = 1 м/с2, с = 2 м/с3. Определить уско-
рения точек в момент их встречи.

                                 Решение
    Для ответа на вопрос задачи предварительно необходимо найти время
встречи и зависимости ускорений точек от времени. Условием встречи является
равенство координат. Поэтому вначале определим законы движения по
формуле (1.6)
                                                 bt 2 ct 3
                          (             )
     x1 = ∫ V1 ⋅ dt + C1 = ∫ +bt + ct dt + C1 =
                                    2
                                                   2
                                                      +
                                                         3
                                                           + C1,

                                                     bt 2 ct 3
                              (             )
     x 2 = ∫ V2 ⋅ dt + C2 = ∫ −bt + ct 2 dt + C2 = −
                                                      2
                                                         +
                                                           3
                                                               + C2 .

    Константу С1 определим из начального условия x1(t=0)=x10. Используя это
равенство, получаем С1 = x10. Аналогично можно получить, что С2 = x20. Тогда
законы движения точек примут вид
                               x1 = x10 + bt2/2 + сt3/3,
                               x2 = x20 – bt2/2 + сt3/3.
    Приравнивая эти выражения в искомый момент времени tВ, получаем
                      x10 + btВ2/2 + сtВ3/3 = x20 – btВ2/2 + сtВ3/3.
                                                      x −x
    Выполнив преобразования, находим         t B = ± 20 10 .
                                                          b
    После вычислений выбираем положительное значение tВ = 2 с.

Страницы