ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Решение
Выберем систему отсчета связанную со спокойной водой. Ось координат
OX направим вдоль направления движения катера. Пусть в некоторый момент
времени скорость катера равна V. Масса катера
m
0
не меняется, внешние силы
отсутствуют, проекция относительной скорости поступающей в турбину воды
равна - V, а для выбрасываемой –U. Соответственно уравнение И.В. Мещерско-
го (4.7)
запишем в виде
OX:
0
μμ
dV
mVU
dt
=− ⋅ + ⋅ или OX:
0
μ 1
dV V
mU
dt U
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
.
Введем безразмерную переменную
W = 1 – V/U. Тогда dV = -U
dW и
после замены и разделения переменных получаем уравнение
0
1 μ
dW dt
Wm
=− .
Такое уравнение
рассматривалось в примере 9. Интегрируя его, можно по-
лучить
0
μ
lnWtC
m
=− + или
0
μ
ln 1
V
tC
Um
⎛⎞
−
=− +
⎜⎟
⎝⎠
. Из начального условия
V(t=0) = 0 определяем С = 0 и приводим уравнение к виду
0
μ
ln 1
V
t
Um
⎛⎞
−=−
⎜⎟
⎝⎠
.
Используя определение логарифмической функции, получаем
0
μ
1
t
m
V
e
U
−
−= или
0
μ
1
t
m
VU e
−
⎛⎞
⎜⎟
=−
⎜⎟
⎝⎠
.
График этой функции при-
веден на рис. 4.4. Скорость
асимптотически стремится к
предельному значению V
MAХ
=
U. В этом случае скорость вы-
брасываемой струи воды в вы-
бранной системе отсчета равна
V
X
U
V
1
Решение
Выберем систему отсчета связанную со спокойной водой. Ось координат
OX направим вдоль направления движения катера. Пусть в некоторый момент
времени скорость катера равна V. Масса катера m0 не меняется, внешние силы
отсутствуют, проекция относительной скорости поступающей в турбину воды
равна - V, а для выбрасываемой –U. Соответственно уравнение И.В. Мещерско-
го (4.7) запишем в виде
dV dV ⎛ V⎞
OX: m0 = −μ ⋅ V + μ ⋅ U или OX: m0 = μU ⎜1 − ⎟ .
dt dt ⎝ U⎠
Введем безразмерную переменную W = 1 – V/U. Тогда dV = -U dW и
после замены и разделения переменных получаем уравнение
1 μ
dW = − dt .
W m0
Такое уравнение рассматривалось в примере 9. Интегрируя его, можно по-
μ ⎛ V⎞ μ
лучить lnW = − t + C или ln ⎜1 − ⎟ = − t + C . Из начального условия
m0 ⎝ U⎠ m0
V(t=0) = 0 определяем С = 0 и приводим уравнение к виду
⎛ V⎞ μ
ln ⎜1 − ⎟ = − t .
⎝ U⎠ m0
Используя определение логарифмической функции, получаем
V − t
μ ⎛ − t⎞
μ
1 − = e m0 или V = U ⎜1 − e m0 ⎟ .
U ⎜ ⎟
⎝ ⎠
График этой функции при- VX
веден на рис. 4.4. Скорость
асимптотически стремится к
предельному значению VMAХ = U
U. В этом случае скорость вы-
брасываемой струи воды в вы- V1
бранной системе отсчета равна
