Основы метрологии. Новиков Г.А. - 166 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

166
где
()
iii
xfyy
ˆ
−=∆
. Минимальной
()
∑
=
∆
n
i
i
y
1
2
будет соответствовать мини-
мальная дисперсия. Метод, с помощью которого отыскивается оценка
()
xfy
ˆ
=
истинной зависимости
(
)
xfy
=
путем минимизации
()
∑
=
∆
n
i
i
y
1
2
,
называется методом наименьших квадратов (МНК).
Если погрешности результатов измерения x
i
( ni ,1= ) пренебрежимо
малы, систематические погрешности результатов измерения y
i
( ni ,1= )
исключены, ФВ y принадлежит нормальному распределению и случайные
погрешности результатов измерений y
i
независимы, то с помощью МНК
можно вычислить наиболее правдоподобные точечные оценки параметров
истинной зависимости
(
)
xfy = . На практике указанные условия выпол-
няются редко, и МНК является удобным аналитическим способом расчета
параметров зависимости
(
)
xfy
ˆ
=
.
Рассмотрим применение МНК на примере линейной зависимости ме-
жду y и x. В этом случае
()
bxaxfy
+
== ,
(
)
xbaxfy
ˆ
ˆ
ˆ
+==
, (4.98)
где a
ˆ
и
b
ˆ
– точечные оценки параметров a и b истинной зависимости ме-
жду y и x. Сумма квадратов отклонений
()
()
(
)
∑∑
==
−−=∆=
n
i
ii
n
i
i
xbayybaS
1
2
1
2
ˆ
ˆ
ˆ
,
ˆ
(4.99)
будет минимальна, если
(
)
0
ˆ
ˆ
,
ˆ
=
∂
∂
a
baS
,
(
)
0
ˆ
ˆ
,
ˆ
=
∂
∂
b
baS
. (4.100)
После дифференцирования получим систему уравнений:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+
=+
∑∑∑
∑∑
===
==
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
yxxbxa
yxbna
11
2
1
11
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
. (4.101)

Страницы