Основы страхования. Орлов В.П. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

R = P (ω : S(ω) > U), Q = P (ω : S(ω) ≤ U)
R + Q = 1 N R
Q
R
X
i
(w
i
)
N
N
˜
F (x)
˜
S =
S − E(S)
p
D(S)
˜
F (x) ≈ Φ(x) =
1
√
2π
x
Z
−∞
e
−t
2
/2
dt.
E(S) = 0 D(S) = 1
Q = P (w : S ≤ U) ≈ Φ
Ã
U − E(S)
p
D(S)
!
.
S(w) ≤ U
S(w) −E(S)
p
D(S)
≤
U − E(S)
p
D(S)
,
                                  11 


  Îïðåäåëåíèå 3.8. ×èñëà
               R = P (ω : S(ω) > U ), Q = P (ω : S(ω) ≤ U )                  (3.1.13)

íàçûâàþòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, âåðîÿòíîñòüþ ðàçîðåíèÿ è íåðàçîðåíèÿ
êîìïàíèè.

  ßñíî, ÷òî R + Q = 1. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðè áîëüøèõ N ïîäñ÷èòàòü R è
Q ñëîæíî, ïîýòîìó ïðèõîäèòñÿ ïîëüçîâàòüñÿ èíñòðóìåíòàìè òåîðèè âåðî-
ÿòíîñòåé.

3.2 Ðàñ÷åò âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ
Òî÷íûé ðàñ÷åò âåëè÷èíû R ìîæíî ïðîèçâåñòè, åñëè èçâåñòíû õàðàêòåðè-
ñòèêè âåëè÷èíû Xi (wi ). Îäíàêî ýòè âû÷èñëåíèÿ î÷åíü ãðîìîçäêè (ñì. êóðñ
òåîðèè âåðîÿòíîñòåé). Íà ïðàêòèêå ïðè áîëüøèõ N èìåþòñÿ ïðîñòûå ïðè-
áëèæåííûå ôîðìóëû, îñíîâàííûå íà ñëåäóþùåì ôàêòå.

   Òåîðåìà 3.1. Ïðè áîëüøèõ N ñ áîëüøîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè äëÿ
ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F̃ (x) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
                                 S − E(S)
                             S̃ = p                                          (3.2.14)
                                    D(S)
ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
                                           Zx
                                     1                2
                    F̃ (x) ≈ Φ(x) = √           e−t       /2
                                                               dt.           (3.2.15)
                                      2π
                                           −∞

  Ìû íå áóäåì âûÿñíÿòü óñëîâèé, ïðè êîòîðûõ ñïðàâåäëèâà ýòà ôîðìóëà
(ñì. ïî ýòîìó ïîâîäó [3]), çàìåòèì ëèøü, ÷òî äëÿ íîðìèðîâàííîé ñ.â. (ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî E(S) = 0 è D(S) = 1) ôîðìóëà (3.2.15) îçíà÷àåò ïî÷òè
íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Íèæå âñþäó ñ÷èòàåì, ÷òî (3.2.15) âûïîëíåíî.
  Èç ôîðìóë (3.2.14) è (3.2.15)ñëåäóåò, ÷òî
                                           Ã                         !
                                               U − E(S)
                 Q = P (w : S ≤ U ) ≈ Φ         p                        .   (3.2.16)
                                                  D(S)
 Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê S(w) ≤ U ýêâèâàëåíòíî ñîîòíîøåíèþ
                       S(w) − E(S) U − E(S)
                         p        ≤ p       ,
                           D(S)       D(S)

Страницы