Космофизический практикум. Панасюк М.И - 147 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

где - некоторая скалярная функция длины радиус вектора
()Qr r
=
||r
.
Для сферической планеты гравитационное поле центрально и мо-
мент сил равен нулю. Это приводит к закону сохранения момента
импульса. Если форма Земли отлична от сферической, то гравита-
ционное поле не является центральным, и момент импульса не со-
храняется. Вычислим момент сил для потенциальной энергии (20).
Дифференцируя потенциальную энергию (20) получаем следующее
выражение
для силы, действующей на спутник:
() ()
z
UQrz Wrz
=
−∇ = , + ,Fre
(22)
где
22
2
32
2
2
32
3
() 1 5 1
2
() 3
EE
EE
GM m J z R
Qrz
rr
GM m R
Wr J
rr
2
r
⎡
⎤
⎛⎞
,= + −⋅ ,
⎢
⎥
⎜⎟
⎝⎠
⎣
⎦
=,
а вектор
- единичный вектор в направлении оси
z
e
z
, совпадающей
с направление оси вращения Земли. Отсюда следует, что в таком
поле момент сил, действующих на спутник равен:
[]()[
z
Wrz ]
×
=×rF re.
.
Отсюда находим
[ ] ()[( ) ] () [ ] () [ ]
xyzz xz yz
Wrz x y z Wrzx Wrzy×= + + × = ×+ ×rF e e e e e e e e
Учитывая, что
[] []
xz y yz x
×
=− , × = ,ee e ee e
получаем для компонент момента импульса систему уравнений:
()
x
dL
Wrz
y
dt
=
,
()
y
dL
Wrzx
dt
−,
(23)
0
z
dL
dt
=
.
Из этой системы видно, что проекция момента импульса спут-
ника на ось вращения Земли сохраняется:
const
z
L
=
.
146
где Q (r ) - некоторая скалярная функция длины радиус вектора r =| r | .
Для сферической планеты гравитационное поле центрально и мо-
мент сил равен нулю. Это приводит к закону сохранения момента
импульса. Если форма Земли отлична от сферической, то гравита-
ционное поле не является центральным, и момент импульса не со-
храняется. Вычислим момент сил для потенциальной энергии (20).
Дифференцируя потенциальную энергию (20) получаем следующее
выражение для силы, действующей на спутник:
                                     F = −∇U = Q ( r , z )r + W (r ) ze z ,                                   (22)
где
                                        GM E m ⎡ 3J 2 ⎛ z 2 ⎞ RE2 ⎤
                              Q(r, z ) =         ⎢1 +    ⎜ 5 − 1⎟ ⋅ ⎥ ,
                                            r3 ⎣       2 ⎝ r2 ⎠ r2 ⎦
                                            GM E m RE2
                              W (r ) = 3J 2            ,
                                              r3 r2

а вектор e z - единичный вектор в направлении оси z , совпадающей
с направление оси вращения Земли. Отсюда следует, что в таком
поле момент сил, действующих на спутник равен:
                                           [r × F ] = W ( r ) z[r × e z ].

Отсюда находим
         [r × F] = W (r ) z[( xe x + ye y + ze z ) × e z ] = W (r ) zx[e x × e z ] + W (r ) zy[e y × e z ].

Учитывая, что
                                      [e x × e z ] = −e y , [e y × e z ] = e x ,

получаем для компонент момента импульса систему уравнений:


                                                       dLy
                                     dLx
                                         = W ( r ) zy,     = −W (r ) zx,
                                      dt                dt                                                    (23)
                                                     dLz
                                                         = 0.
                                                      dt

      Из этой системы видно, что проекция момента импульса спут-
ника на ось вращения Земли сохраняется: Lz = const .

                                                      146

Страницы