ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
§1. Симметрические многочлены
1.1. Выразить через элементарные симметрические многочлены:
a) x
3
1
+ x
3
2
+ x
3
3
− 3x
1
x
2
x
3
;
b) x
2
1
x
2
+ x
1
x
2
2
+ x
2
1
x
3
+ x
1
x
2
3
+ x
2
2
x
3
+ x
2
x
2
3
;
c) (x
1
+ x
2
)(x
1
+ x
3
)(x
2
+ x
3
);
d) (2x
1
− x
2
− x
3
)(2x
2
− x
1
− x
3
)(2x
3
− x
1
− x
2
);
e) x
4
1
+ x
4
2
+ x
4
3
− 2x
2
1
x
2
2
− 2x
2
1
x
2
3
− 2x
2
2
x
2
3
;
f) x
5
1
x
2
2
+ x
2
1
x
5
2
+ x
5
1
x
2
3
+ x
2
1
x
5
3
+ x
5
2
x
2
3
+ x
2
2
x
5
3
.
g) (x
1
− x
2
)
2
(x
1
− x
3
)
2
(x
2
− x
3
)
2
.
1.2. Выразить через элементарные симметрические многочлены следую-
щие однородные симметрические многочлены:
a) x
3
1
+ . . .; b) x
3
1
x
2
+ . . .; c) x
4
1
+ . . .; d) x
3
1
x
2
x
3
x
4
+ . . ..
1.3. Вычислить значение симметрического многочлена от корней урав-
нения f(x) = 0:
a) x
3
1
x
2
+ x
1
x
3
2
+ x
3
1
x
3
+ x
1
x
3
3
+ x
3
2
x
3
+ x
2
x
3
3
, f(x) = x
3
− x
2
− 4x + 1;
b) x
3
1
x
2
x
3
+ . . ., f(x) = x
4
1
+ x
3
− 2x
2
− 3x + 1;
c) x
4
1
x
2
+ . . ., f(x) = 3x
2
− 5x + 1;
d) x
3
1
x
3
2
+ . . ., f(x) = 3x
4
− 2x
3
+ 2x
2
+ x − 1.
1.4. Найти сумму пятых степеней корней уравнения x
6
−4x
5
+ 3x
3
−4x
2
+
x + 1 = 0.
1.5. Найти сумму восьмых степеней уравнения x
4
− x
3
− 1 = 0.
1.6. Найти сумму десятых степеней уравнения x
3
− 3x + 1 = 0.
1.7. Применяя степенные суммы, вычислить дискриминанты следующих
многочленов:
a) x
3
− 2x + 1; b) x
3
− x
2
− x − 1; c) x
4
− x
2
+ x + 1; d) x
4
+ a.
§2. Результант и дискриминант
2.1. Вычислить результанты следующих многочленов:
a) x
3
− 3x
2
+ 2x + 1 и 2x
2
− x − 1;
b) 2x
3
− 3x
2
+ 2x + 1 и x
2
+ x + 3;
c) x
3
− x
2
− 1 и x
2
+ a.
2.2. При каком λ многочлены имеют общий корень:
a) x
3
− λx + 2 и x
2
+ λx + 2;
b) x
3
− 2x
2
+ x − 2 и x
2
− 3x + λ;
3
