Цифровая обработка сигналов. Парфенов В.И. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

9
расчет частотного коэффициента передачи цепи B. С этой целью заменим
цепь B на цепь вида
Здесь вместо реальных элементов R и С
используются комплексные сопротивления
, 1..4
i
Zi
=
:
1
1
(1)ZjC
−
=ω
,
2
1
Z
R
=
,
3
2
Z
R
=
,
1
4
(2)ZjC
−
=ω
. Обозначим:
вх
U
&
и
вых
U
&
− комплексные амплитуды входного
и выходного напряжений соответственно;
Рис.4 кроме того
I
&
,
1
I
&
и
2
I
&
− комплексные
амплитуды токов в ветвях с комплексными сопротивлениями
1
&
,
2
Z
&
и
3
Z
&
-
4
Z
&
соответственно. Используя правила Кирхгофа в комплексной форме,
записываем очевидные соотношения:
12
I
II=+
&& &
,
вх 1
12UIZIZ=⋅ + ⋅
&&&&&
,
вых 212
423UIZIZIZ
=
⋅=⋅−⋅
&&&&&&&
. (8)
Из последнего равенства находим
12
(3 4)/ 2
I
IZ Z Z=+
&&& & &
. Далее, подставляя
это выражение в первое равенство (8), получаем
(
)
2
1(3 4) 2
I
IZZZ=++
&& & & &
.
Частотный коэффициент передачи цепи B находим по определению
вых 2
вх 1
424
()
121(234)2(34)
UIZ ZZ
KB
UIZIZZZZZZZZ
⋅⋅
ω= = =
⋅+⋅ ⋅ + + + ⋅ +
&&& &&
&
& &&&& &&&& &&&
.
Подставляя сюда вместо
, 1..4
i
Zi
=
их значения, получаем окончательно
2
11
()
12(12)()112211
jRC
KB
j
CR R j RCRC jRC
ω
ω=
+ω + + ω +ω
&
.
Для того чтобы ввести в компьютер найденные выражения для частотных
коэффициентов передачи цепей A и B соответственно, набираем в среде
Mathcad:
TOL 10
5−
≡ R1 10
6
:= R2 1.5 10
6
⋅:= j1−:=
C1 100 10
9−
⋅:= C2 150 10
9−
⋅:=
KA ω
()
1
1jω⋅ R1⋅ C1⋅+
:=
KB ω
()
j ω⋅ R1⋅ C1⋅
1jω⋅ C2⋅ R1 R2+()⋅+ j ω⋅ R1⋅ C1⋅+ j ω⋅
()
2
R1⋅ R2⋅ C1⋅ C2⋅+
:=
Графики модуля и аргумента найденных частотных характеристик, т.е.
АЧХ и ФЧХ цепей A и B принимают вид
n 0 100..:= Ω
n
n50
−
0.5
:=
                                                      9

расчет частотного коэффициента передачи цепи B. С этой целью заменим
цепь B на цепь вида
                            Здесь вместо реальных элементов R и С
                            используются комплексные сопротивления
                             Z i , i = 1..4 :  Z1 = ( jωC1) −1 , Z 2 = R1 ,
                             Z = R 2 , Z = ( jωC 2) −1 . Обозначим: U& и
                                                3              4                                       вх
                             U& вых − комплексные амплитуды входного
                             и выходного напряжений соответственно;
         Рис.4                    кроме того I& , I&1 и I&2 − комплексные
амплитуды токов в ветвях с комплексными сопротивлениями Z& , Z& и Z& -                       1     2        3
Z& 4 соответственно. Используя правила Кирхгофа в комплексной форме,
записываем очевидные соотношения:
         I& = I&1 + I&2 , U& вх = I& ⋅ Z& 1 + I&1 ⋅ Z& 2 , U& вых = I&2 ⋅ Z& 4 = I&1 ⋅ Z& 2 − I&2 ⋅ Z& 3 . (8)
Из последнего равенства находим I& = I& ( Z& 3 + Z& 4) / Z& 2 . Далее, подставляя
                                                     1     2
это выражение в первое равенство (8), получаем I& = I&2 (1 + ( Z& 3 + Z& 4) Z& 2 ) .
Частотный коэффициент передачи цепи B находим по определению
               &              I&2 ⋅ Z& 4                            Z& 2 ⋅ Z& 4
     & ( ω) = U вых =
     KB                                      =                                                     .
              U& вх    I& ⋅ Z& 1 + I&1 ⋅ Z& 2 Z& 1 ⋅ ( Z& 2 + Z& 3 + Z& 4) + Z& 2 ⋅ ( Z& 3 + Z& 4)
Подставляя сюда вместо Z i , i = 1..4 их значения, получаем окончательно
           & ( ω) =                               jωR1C1
          KB                                                                                .
                    1 + jωC 2( R1 + R 2) + ( jω)2 R1C1R 2C 2 + jωR1C1
Для того чтобы ввести в компьютер найденные выражения для частотных
коэффициентов передачи цепей A и B соответственно, набираем в среде
Mathcad:

               −5                    6                         6
 TOL ≡ 10                R1 := 10          R2 := 1.5 ⋅ 10                 j := −1
                                  −9                               −9
              C1 := 100 ⋅ 10                 C2 := 150 ⋅ 10
                                              1
                    KA ( ω ) :=
                                    1 + j ⋅ ω ⋅ R1 ⋅ C1
                                                  j ⋅ ω ⋅ R1 ⋅ C1
KB( ω ) :=
               1 + j ⋅ ω ⋅ C2 ⋅ ( R1 + R2) + j ⋅ ω ⋅ R1 ⋅ C1 + ( j ⋅ ω ) ⋅ R1 ⋅ R2 ⋅ C1 ⋅ C2
                                                                                   2


Графики модуля и аргумента найденных частотных характеристик, т.е.
АЧХ и ФЧХ цепей A и B принимают вид
                                           n − 50
                 n := 0 .. 100      Ω n :=
                                             0.5

Страницы