ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
§ 6. Прямые и обратные теоремы о следах 121
к оператору следа на ∂R
n
+
= R
n−1
. Пусть v — произвольная функция из
W
1−1/p
p
(∂Ω), тогда θ
j
v ∈ W
1−1/p
p
(R
n−1
). Положим w
j
=
b
Πθ
j
v ∈ W
1
p
(R
n
+
)
и определим на Ω функцию
u
j
(x) =
(
ω
j
(x)w
j
(Φ
j
(x)), если x ∈ U
j
T
Ω,
0, если x /∈ U
j
T
Ω.
Ясно, что функция u
j
∈ W
1
p
(Ω) и непрерывно зависит от v ∈ W
1−1/p
p
(∂Ω).
Таким образом, линейный оператор Π, определяемый формулой
Πv =
N
X
j=1
u
j
,
непрерывен из W
1−1/p
p
(∂Ω) в W
1
p
(Ω). В силу того, что функции {ω
j
}
образуют разбиение единицы на ∂Ω, подчиненное покрытию {U
j
}, имеем
Υ Π v = v для всех v ∈ W
1−1/p
p
(∂Ω). Теорема доказана.
Доказанная теорема имеет фундаментальное значение в приложе-
ниях пространств Соболева к уравнениям в частных производных. Она
дает полное описание класса следов функций из пространства W
1
p
(Ω).
Заключительные замечания к главе.
1) Мы ограничились случаем 0 < s < 1 исключительно в целях
упрощения изложения. Нет никаких принципиальных по сравнению с
рассмотренным случаем трудностей для построения теории для произ-
вольных вещественных s > 0.
2) Используя другие полугруппы, отличные от полугруппы сдвигов,
можно построить различные эквивалентные нормировки пространств
Соболева дробного порядка, как это было сделано в параграфе 4.
3) Имеются важные с точки зрения приложений обобщения теоре-
мы о следах. Одно из обобщений связано с усложнением геометрии об-
ласти. Например, в случае кусочно-гладкой границы без нулевых углов
для корректного определения пространства W
s
p
(∂Ω) необходимо вводить
некоторые условия "склейки" в стыках гладких кусков.
4) Оператор восстановления функции по ее следу можно строить та-
ким образом, чтобы для заданного малого δ > 0 носитель восстановлен-
ной функции содержался в δ-окрестности носителя ее следа. Это упроща-
§ 6. Прямые и обратные теоремы о следах 121
n
к оператору следа на ∂R+ = Rn−1 . Пусть v — произвольная функция из
1−1/p 1−1/p b j v ∈ Wp1 (R+
Wp (∂Ω), тогда θj v ∈ Wp (Rn−1 ). Положим wj = Πθ n
)
и определим на Ω функцию
( T
ωj (x)wj (Φj (x)), если x ∈ Uj Ω,
uj (x) = T
0, если x ∈
/ Uj Ω.
1−1/p
Ясно, что функция uj ∈ Wp1 (Ω) и непрерывно зависит от v ∈ Wp (∂Ω).
Таким образом, линейный оператор Π, определяемый формулой
N
X
Πv = uj ,
j=1
1−1/p
непрерывен из Wp (∂Ω) в Wp1 (Ω). В силу того, что функции {ωj }
образуют разбиение единицы на ∂Ω, подчиненное покрытию {Uj }, имеем
1−1/p
Υ Π v = v для всех v ∈ Wp (∂Ω). Теорема доказана.
Доказанная теорема имеет фундаментальное значение в приложе-
ниях пространств Соболева к уравнениям в частных производных. Она
дает полное описание класса следов функций из пространства Wp1 (Ω).
Заключительные замечания к главе.
1) Мы ограничились случаем 0 < s < 1 исключительно в целях
упрощения изложения. Нет никаких принципиальных по сравнению с
рассмотренным случаем трудностей для построения теории для произ-
вольных вещественных s > 0.
2) Используя другие полугруппы, отличные от полугруппы сдвигов,
можно построить различные эквивалентные нормировки пространств
Соболева дробного порядка, как это было сделано в параграфе 4.
3) Имеются важные с точки зрения приложений обобщения теоре-
мы о следах. Одно из обобщений связано с усложнением геометрии об-
ласти. Например, в случае кусочно-гладкой границы без нулевых углов
для корректного определения пространства Wps (∂Ω) необходимо вводить
некоторые условия "склейки" в стыках гладких кусков.
4) Оператор восстановления функции по ее следу можно строить та-
ким образом, чтобы для заданного малого δ > 0 носитель восстановлен-
ной функции содержался в δ-окрестности носителя ее следа. Это упроща-
