ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
120 Пространства Соболева дробного порядка
Отметим, что оператор Π определяет функцию класса W
1
p
(R
n
+
) по ее
следу на границе.
Чтобы сформулировать теоремы о следах для областей с C
1
-гладкой
конечной границей, используем тот же метод локальных карт, что и в
предыдущем параграфе, сохраняя те же обозначения. Пусть Ω — равно-
мерно C
1
-регулярная область, и ∂Ω — ограниченное множество. Пусть
{U
j
}
N
j=1
— конечное открытое покрытие границы ∂Ω и {Ψ
j
}
N
j=1
— се-
мейство C
1
-гладких отображений B = {y ∈ R
n
| |y| < 1} на U
j
с со-
ответствующими свойствами, {ω}
N
j=1
— C
∞
-разбиение единицы для ∂Ω,
подчиненное покрытию {U
j
}. Для функции v, определенной на ∂Ω, по-
строим продолжение на R
n−1
по следующему правилу
θ
j
v(y
0
) =
(
(ω
j
v)(Ψ
j
(y
0
, 0)), если |y
0
| < 1
0, если |y
0
| ≥ 1.
Для 0 < s < 1 определим W
s
p
(∂Ω) как множество функций v ∈ L
p
(∂Ω),
для которых θ
j
v ∈ W
s
p
(R
n−1
) для всех j = 1, N. Норму пространства
W
s
p
(∂Ω) определим равенством
kvk
s,p,∂Ω
=
µ
N
X
j=1
kθ
j
vk
p
s,p,R
n−1
¶
1/p
.
Нетрудно убедиться в том, что определение пространства W
s
p
(∂Ω), дан-
ное выше, с точностью до эквивалентности норм не зависит от покрытия
{U
j
}, функций {Ψ
j
} и разбиения единицы {ω
j
}.
Теорема 4.10. Пусть Ω — равномерно C
1
-регулярная область, ∂Ω
— ограниченное множество, Υ — оператор следа на ∂Ω. Тогда
1) (прямая теорема о следах) оператор Υ непрерывно отображает
W
1
p
(Ω) на все пространство W
1−1/p
p
(∂Ω);
2) (обратная теорема о следах) существует непрерывный оператор
Π : W
1−1/p
p
(∂Ω) → W
1
p
(Ω), обладающий свойствами (6.3).
Доказательство. Прямая теорема непосредственно следует из опре-
деления пространства W
1−1/p
p
(∂Ω). Докажем справедливость утвержде-
ния 2). Пусть
b
Π : W
1−1/p
p
(R
n−1
) → W
1
p
(R
n
) — оператор продолжения
с границы на полупространство, то есть непрерывный правый обратный
120 Пространства Соболева дробного порядка
Отметим, что оператор Π определяет функцию класса Wp1 (R+ n
) по ее
следу на границе.
Чтобы сформулировать теоремы о следах для областей с C 1 -гладкой
конечной границей, используем тот же метод локальных карт, что и в
предыдущем параграфе, сохраняя те же обозначения. Пусть Ω — равно-
мерно C 1 -регулярная область, и ∂Ω — ограниченное множество. Пусть
{Uj }N
j=1 — конечное открытое покрытие границы ∂Ω и {Ψj }j=1 — се-
N
мейство C 1 -гладких отображений B = {y ∈ Rn | |y| < 1} на Uj с со-
ответствующими свойствами, {ω}N ∞
j=1 — C -разбиение единицы для ∂Ω,
подчиненное покрытию {Uj }. Для функции v, определенной на ∂Ω, по-
строим продолжение на Rn−1 по следующему правилу
(
0 (ωj v)(Ψj (y 0 , 0)), если |y 0 | < 1
θj v(y ) =
0, если |y 0 | ≥ 1.
Для 0 < s < 1 определим Wps (∂Ω) как множество функций v ∈ Lp (∂Ω),
для которых θj v ∈ Wps (Rn−1 ) для всех j = 1, N . Норму пространства
Wps (∂Ω) определим равенством
µX
N ¶1/p
kvks,p,∂Ω = kθj vkps,p,Rn−1 .
j=1
Нетрудно убедиться в том, что определение пространства Wps (∂Ω), дан-
ное выше, с точностью до эквивалентности норм не зависит от покрытия
{Uj }, функций {Ψj } и разбиения единицы {ωj }.
Теорема 4.10. Пусть Ω — равномерно C 1 -регулярная область, ∂Ω
— ограниченное множество, Υ — оператор следа на ∂Ω. Тогда
1) (прямая теорема о следах) оператор Υ непрерывно отображает
1−1/p
Wp1 (Ω) на все пространство Wp (∂Ω);
2) (обратная теорема о следах) существует непрерывный оператор
1−1/p
Π : Wp (∂Ω) → Wp1 (Ω), обладающий свойствами (6.3).
Доказательство. Прямая теорема непосредственно следует из опре-
1−1/p
деления пространства Wp (∂Ω). Докажем справедливость утвержде-
b : Wp1−1/p
ния 2). Пусть Π (Rn−1 ) → Wp1 (Rn ) — оператор продолжения
с границы на полупространство, то есть непрерывный правый обратный
