Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

118 Пространства Соболева дробного порядка
Заметим также, что supp Ev
j
⊂⊂ B. Определим на R
n
функции eu
j
,
полагая eu
j
(x) = Ev
j
(Φ
j
(x)), если x ∈ U
j
, и eu
j
(x) = 0, если x 6∈ U
j
. Ясно,
что eu
j
(x) = u
j
(x) почти всюду на Ω, supp eu
j
⊂⊂ U
j
, и
keu
j
k
f
W
s
p
(R
n
)
6 K
7
kEv
j
k
f
W
s
p
(R
n
)
.
Следовательно, оператор E
∗
, определяемый для каждой функции u из
f
W
s
p
(Ω) формулой
E
∗
u(x) = u
0
(x) +
N
X
j=1
eu
j
(x),
удовлетворяет, очевидно, условиям леммы. Утверждение доказано.
Теорема 4.9. Пусть область Ω совпадает либо с R
n
, либо с полу-
пространством R
n
+
, либо равномерно C
1
-регулярна, и ∂Ω — ограничен-
ное множество. Тогда пространства W
s
p
(Ω) и
f
W
s
p
(Ω) совпадают и их
нормы эквивалентны.
Доказательство. По лемме 4.9 каждое из этих пространств совпа-
дает с множеством сужений на Ω функций из W
s
p
(R
n
) и
f
W
s
p
(R
n
) соот-
ветственно. Последние же два пространства по теореме 4.8 совпадают и
их нормы эквивалентны. Итак, пространства W
s
p
(Ω) и
f
W
s
p
(Ω) совпадают
как множества и оба, по определению, непрерывно вложены в простран-
ство L
p
(Ω). По теореме Банаха о замкнутом графике, которую следует
применить к тождественному отображению, нормы этих пространств эк-
вивалентны. Теорема доказана.
На пространстве W
s
p
(Ω) нами рассматривались три нормы:
1) фактор-норма пространства следов (3.2);
2) норма, определяемая полугруппами сдвигов в теореме 4.4;
3) норма, определяемая равенством (5.2).
В силу теорем 4.4 и 4.9 все эти нормировки эквивалентны.
§ 6. Прямые и обратные теоремы о следах
В этом параграфе устанавливаются результаты, касающиеся гранич-
ных свойств функций пространств Соболева, которые носят название
118                                       Пространства Соболева дробного порядка


Заметим также, что supp Evj ⊂⊂ B. Определим на Rn функции u                  ej ,
полагая uej (x) = Evj (Φj (x)), если x ∈ Uj , и u
                                                ej (x) = 0, если x 6∈ Uj . Ясно,
что u
    ej (x) = uj (x) почти всюду на Ω, supp u   ej ⊂⊂ Uj , и

                        ke
                         uj kW
                             f s (Rn ) 6 K7 kEvj kW
                                                  f s (Rn ) .
                               p                      p


Следовательно, оператор E ∗ , определяемый для каждой функции u из
fps (Ω) формулой
W
                                       XN
                      ∗
                     E u(x) = u0 (x) +    u
                                          ej (x),
                                                j=1

удовлетворяет, очевидно, условиям леммы. Утверждение доказано.
    Теорема 4.9. Пусть область Ω совпадает либо с Rn , либо с полу-
                n
пространством R+  , либо равномерно C 1 -регулярна, и ∂Ω — ограничен-
ное множество. Тогда пространства Wps (Ω) и W  fs (Ω) совпадают и их
                                                 p
нормы эквивалентны.
    Доказательство. По лемме 4.9 каждое из этих пространств совпа-
дает с множеством сужений на Ω функций из Wps (Rn ) и W  fps (Rn ) соот-
ветственно. Последние же два пространства по теореме 4.8 совпадают и
                                                    fps (Ω) совпадают
их нормы эквивалентны. Итак, пространства Wps (Ω) и W
как множества и оба, по определению, непрерывно вложены в простран-
ство Lp (Ω). По теореме Банаха о замкнутом графике, которую следует
применить к тождественному отображению, нормы этих пространств эк-
вивалентны. Теорема доказана.

      На пространстве Wps (Ω) нами рассматривались три нормы:
      1) фактор-норма пространства следов (3.2);
      2) норма, определяемая полугруппами сдвигов в теореме 4.4;
      3) норма, определяемая равенством (5.2).
      В силу теорем 4.4 и 4.9 все эти нормировки эквивалентны.

             § 6. Прямые и обратные теоремы о следах

   В этом параграфе устанавливаются результаты, касающиеся гранич-
ных свойств функций пространств Соболева, которые носят название

Страницы