Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

116 Пространства Соболева дробного порядка
Тогда
kEuk
p
0,p,R
n
=
Z
R
n−1
dx
0
∞
Z
0
|u(x)|
p
dx
n
+
0
Z
−∞
|u(x
0
, −x
n
)|
p
dx
n
= 2kuk
p
0,p,R
n
+
.
Так же, как и выше, полагая 2λ = n + sp, можем записать
Z
R
n
Z
R
n
|Eu(x) − Eu(y)|
p
|x − y|
2λ
dxdy = I
++
+ I
+−
+ I
−+
+ I
−−
,
где
I
++
=
Z
R
n
+
Z
R
n
+
|u(x) − u(y)|
p
|x − y|
2λ
dxdy,
I
+−
=
Z
R
n−1
dx
0
Z
R
n−1
dy
0
∞
Z
0
dx
n
0
Z
−∞
|u(x) − u(y
0
, −y
n
)|
p
(|x
0
− y
0
|
2
+ (x
n
− y
n
)
2
)
λ
dy
n
6
6
Z
R
n−1
dx
0
Z
R
n−1
dy
0
∞
Z
0
dx
n
0
Z
−∞
|u(x) − u(y
0
, −y
n
)|
p
(|x
0
− y
0
|
2
+ (x
n
+ y
n
)
2
)
λ
dy
n
6 I
++
,
так как (x
n
+ y
n
)
2
> (x
n
− y
n
)
2
для x
n
, y
n
> 0. Аналогично оцениваются
соответствующие интегралы I
−+
, I
−−
. Таким образом,
kEuk
s,p,R
n
= kEuk
f
W
s
p
(R
n
)
6 4
1/p
kuk
f
W
s
p
(R
n
+
)
.
Пусть теперь Ω — равномерно C
1
-регулярная область, и ∂Ω — огра-
ниченное множество. Тогда по определению существуют конечное от-
крытое покрытие {U
j
}
N
j=1
границы ∂Ω и семейство C
1
-гладких функций
{Φ
j
}
N
j=1
, отображающих U
j
на B = {y ∈ R
n
| |y| < 1}, обладающие
описанными в определении равномерной C
1
-регулярности свойствами.
Очевидно, можно считать, что U
j
ограничены. Пусть U
0
⊂ Ω такое от-
крытое множество, что Ω ⊂
N
S
j=0
U
j
, и пусть {ω
j
}
N
j=0
— C
∞
-разбиение
единицы для Ω, подчиненное покрытию {U
j
}. Для функции u ∈ L
p
(Ω)
положим u
j
(x) = ω
j
(x)u(x). Ясно, что u
j
∈ L
p
(Ω) и ku
j
k
0,p,Ω
6 kuk
0,p,Ω
.
116                                                                      Пространства Соболева дробного порядка


Тогда
                                                                                                              
                          Z                     Z∞                             Z0
                                                                                                       p
kEukp0,p,Rn =                      dx0                 |u(x)|p dxn +               |u(x0 , −xn )| dxn  = 2kukp0,p,R+n .
                      Rn−1                      0                           −∞

Так же, как и выше, полагая 2λ = n + sp, можем записать
         Z Z
              |Eu(x) − Eu(y)|p
                          2λ
                               dxdy = I++ + I+− + I−+ + I−− ,
          n n
                  |x − y|
               R R

где
                                   Z Z
                                                |u(x) − u(y)|p
                  I++ =                                                     dxdy,
                                n Rn
                                                        |x − y|2λ
                               R+  +

                  Z                Z                    Z∞         Z0
                               0                    0                       |u(x) − u(y 0 , −yn )|p
      I+− =               dx                dy               dxn                                                   dyn 6
                                                                        (|x0   −    y 0 |2   + (xn − yn    )2 )λ
                 Rn−1          Rn−1                     0         −∞
           Z              Z                 Z∞               Z0
                      0                 0                            |u(x) − u(y 0 , −yn )|p
      6          dx                dy            dxn                                                       dyn 6 I++ ,
                                                                  (|x0 − y 0 |2 + (xn + yn )2 )λ
          Rn−1        Rn−1                  0               −∞

так как (xn + yn )2 > (xn − yn )2 для xn , yn > 0. Аналогично оцениваются
соответствующие интегралы I−+ , I−− . Таким образом,
                                                            1/p
                              kEuks,p,Rn = kEukW
                                               f s (Rn ) 6 4       f s (Rn ) .
                                                                kukW
                                                                        p                          p       +


    Пусть теперь Ω — равномерно C 1 -регулярная область, и ∂Ω — огра-
ниченное множество. Тогда по определению существуют конечное от-
крытое покрытие {Uj }N                               1
                      j=1 границы ∂Ω и семейство C -гладких функций
{Φj }N                                       n
     j=1 , отображающих Uj на B = {y ∈ R | |y| < 1}, обладающие
описанными в определении равномерной C 1 -регулярности свойствами.
Очевидно, можно считать, что Uj ограничены. Пусть U0 ⊂ Ω такое от-
                               S
                               N
крытое множество, что Ω ⊂        Uj , и пусть {ωj }N      ∞
                                                   j=0 — C -разбиение
                                                                  j=0
единицы для Ω, подчиненное покрытию {Uj }. Для функции u ∈ Lp (Ω)
положим uj (x) = ωj (x)u(x). Ясно, что uj ∈ Lp (Ω) и kuj k0,p,Ω 6 kuk0,p,Ω .

Страницы