Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 5. Пространства Соболева W
s
p
(Ω) дробного порядка 117
Если u ∈
f
W
s
p
(Ω), то для 1 6 j 6 N
Z
Ω
Z
Ω
|u
j
(x) − u
j
(y)|
p
|x − y|
2λ
dxdy 6 K
1
Z
Ω
Z
Ω
|u(x) − u(y)|
p
|x − y|
2λ
dxdy +
+K
1
Z
Ω∩U
j
|u(y)|
p
dy
Z
U
j
|ω
j
(x) − ω
j
(y)|
p
|x − y|
2λ
dxdy.
Так как
Z
U
j
|ω
j
(x) − ω
j
(y)|
p
|x − y|
2λ
dxdy 6 K
2
Z
U
j
|x − y|
p+1−n
dx 6 K
3
,
то u
j
∈
f
W
s
p
(Ω) и ku
j
k
f
W
6 K
4
kuk
f
W
. Так как ω
0
(x) = 1 для всех x из
Ω \ (
N
S
j=1
U
j
), то последнее неравенство справедливо и для j = 0.
Пусть Ψ
j
= Φ
−1
j
. Для 1 6 j 6 N определим на R
n
+
функции v
j
следующим образом: v
j
(y) = u
j
◦ Ψ
j
(y), если y ∈ B ∩ R
n
+
, и v
j
(y) = 0,
если y ∈ R
n
+
\B. Тогда v
j
∈
f
W
s
p
(R
n
+
). Действительно, полагая y = Φ
j
(x),
η = Φ
j
(ξ), будем иметь
kv
j
k
p
f
W
s
p
(R
n
+
)
=
Z
B∩R
n
+
|u
j
(Ψ
j
(y))|
p
dy+
+
Z
B∩R
n
+
Z
B∩R
n
+
|u
j
(Ψ
j
(y)) − u
j
((Ψ
j
(η))|
p
|y −η|
2λ
dydη =
Z
Ω
|u
j
(x)|
p
|det Φ
0
j
(x)|dx+
+
Z
Ω
Z
Ω
|u
j
(x) − u
j
(ξ)|
p
|Φ
j
(x) − Φ
j
(ξ)|
2λ
|det Φ
0
j
(x)||det Φ
0
j
(ξ)|dxdξ 6 K
5
ku
j
k
p
f
W
s
p
(Ω)
,
так как |det Φ
0
j
| ограничен, и
|x − ξ| = |Ψ
j
(y) − Ψ
j
(η)| 6 K
6
|y −η| = K
6
|Φ
j
(x) − Φ
j
(ξ)|
в силу C
1
-гладкости функций Ψ
j
.
По доказанному выше Ev
j
∈
f
W
s
p
(R
n
) и
kEv
j
k
f
W
s
p
(R
n
)
6 4
1/p
kv
j
k
f
W
s
p
(R
n
+
)
.
§ 5. Пространства Соболева Wps (Ω) дробного порядка                                                  117


         fps (Ω), то для 1 6 j 6 N
Если u ∈ W
     Z Z                                Z Z
          |uj (x) − uj (y)|p                 |u(x) − u(y)|p
                             dxdy 6 K1                       dxdy +
               |x − y|2λ                        |x − y|2λ
     Ω Ω                                Ω Ω
                              Z            Z
                                       p     |ωj (x) − ωj (y)|p
                       +K1       |u(y)| dy                      dxdy.
                                                  |x − y|2λ
                                      Ω∩Uj               Uj

Так как
               Z                                        Z
                     |ωj (x) − ωj (y)|p
                                 2λ
                                           dxdy 6 K2          |x − y|p+1−n dx 6 K3 ,
                         |x − y|
               Uj                                       Uj

        fps (Ω) и kuj kf 6 K4 kukf . Так как ω0 (x) = 1 для всех x из
то uj ∈ W              W         W
     S
     N
Ω \ ( Uj ), то последнее неравенство справедливо и для j = 0.
     j=1
   Пусть Ψj = Φ−1                                             n
                    j . Для 1 6 j 6 N определим на R+ функции vj
                                                             n
следующим образом: vj (y) = uj ◦ Ψj (y), если y ∈ B ∩ R+       , и vj (y) = 0,
если y ∈ R+ n
              \ B. Тогда vj ∈ Wf s (Rn ). Действительно, полагая y = Φj (x),
                                p    +
η = Φj (ξ), будем иметь
                                     Z
                     kvj kpfs n =         |uj (Ψj (y))|p dy+
                                   Wp (R+ )
                                                   n
                                                B∩R+
     Z         Z                                                  Z
                      |uj (Ψj (y)) − uj ((Ψj (η))|p
 +                                         2λ
                                                       dydη =         |uj (x)|p | det Φ0j (x)|dx+
      n B∩Rn
                                |y − η|
   B∩R+    +                                                      Ω
         Z Z
                    |uj (x) − uj (ξ)|p
     +                                2λ
                                           | det Φ0j (x)|| det Φ0j (ξ)|dxdξ 6 K5 kuj kpfs        ,
                |Φj (x) − Φj (ξ)|                                                       Wp (Ω)
         Ω Ω
так как | det Φ0j | ограничен, и

           |x − ξ| = |Ψj (y) − Ψj (η)| 6 K6 |y − η| = K6 |Φj (x) − Φj (ξ)|

в силу C 1 -гладкости функций Ψj .
    По доказанному выше Evj ∈ W  fps (Rn ) и

                                                   1/p
                               kEvj kW
                                     f s (Rn ) 6 4     kvj kW
                                                            f s (Rn ) .
                                            p                     p   +

Страницы