Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 5. Пространства Соболева W
s
p
(Ω) дробного порядка 115
=
Z
R
n
dx
Z
R
n−1
dz
0
∞
Z
2|z
0
−x
0
|
|u(x
1
, x
0
) − u(x
1
− 0.5t, z
0
)|
p
t
2λ
dt =
= 2
Z
R
n
dx
Z
R
n−1
dz
0
x
1
−|z
0
−x
0
|
Z
−∞
|u(x) − u(z)|
p
(2(x
1
− z
1
))
2λ
dz
1
6
6
2
2
λ
Z
R
n
dx
Z
R
n
|u(x) − u(z)|
p
|x − z|
2λ
dz.
При этом используются замена переменных z
1
= x
1
− 0.5t и легко про-
веряемые неравенства |z
0
− x
0
| 6 0.5t = x
1
− z
1
, |x − z| 6
√
2|x
1
− z
1
|.
Аналогично оценивается интеграл I
t
(0, x). Таким образом,
∞
Z
0
t
(ν−1)p
Z
R
n
|u(x
1
+ t, x
0
) − u(x)|
p
dxdt 6 K
7
Z
R
n
Z
R
n
|u(x) − u(z)|
p
|x − z|
n+sp
dxdz,
так как 2λ = n+sp. Повторяя те же выкладки с заменой x
1
на x
2
, . . ., x
n
,
приходим к оценке kuk
s,p
6 K
8
kuk
f
W
. Теорема доказана.
Полученный результат также можно распространить с R
n
на слу-
чай областей Ω более общего вида, если использовать непрерывный из
f
W
s
p
(Ω) в
f
W
s
p
(R
n
) оператор продолжения. Построению такого оператора
посвящена следующая
Лемма 4.9. Пусть Ω — либо полупространство в R
n
, либо равно-
мерно C
1
-регулярная область в R
n
, и ∂Ω — ограниченное множество.
Тогда существует линейный непрерывный оператор E, действующий
из L
p
(Ω) в L
p
(R
n
), такой, что
1) Eu(x) = u (x) почти всюду на Ω;
2) E действует из
f
W
s
p
(Ω) в
f
W
s
p
(R
n
) и непрерывен.
Доказательство. Пусть сначала Ω = R
n
+
= {x ∈ R
n
| x
n
> 0}. Обо-
значим x
0
= L
n−1
x и для u ∈ L
p
(Ω) положим
Eu(x) =
(
u(x), x
n
> 0,
u(x
0
, −x
n
), x
n
< 0.
§ 5. Пространства Соболева Wps (Ω) дробного порядка                                                         115


                    Z          Z                Z∞
                                        0                    |u(x1 , x0 ) − u(x1 − 0.5t, z 0 )|p
              =          dx        dz                                                            dt =
                                                                             t2λ
                    Rn     Rn−1         2|z 0 −x0 |
                                                                    0 0
                               Z        Z                    x1 −|z
                                                                Z −x |
                                                         0                |u(x) − u(z)|p
                         = 2       dx               dz                                       dz1 6
                                                                          (2(x1 − z1 ))2λ
                              Rn    Rn−1                       −∞
                                                Z             Z
                                     2                                |u(x) − u(z)|p
                                   6 λ               dx                                dz.
                                    2                                   |x − z|2λ
                                                Rn           Rn
При этом используются замена переменных z1 = x1 − 0.5t и легко про-
                                                             √
веряемые неравенства |z 0 − x0 | 6 0.5t = x1 − z1 , |x − z| 6 2|x1 − z1 |.
Аналогично оценивается интеграл It (0, x). Таким образом,
  Z∞                Z                                                            Z Z
           (ν−1)p                           0                     p                      |u(x) − u(z)|p
       t                 |u(x1 + t, x ) − u(x)| dxdt 6 K7                                               dxdz,
                                                                                           |x − z|n+sp
  0                 Rn                                                          Rn Rn

так как 2λ = n+sp. Повторяя те же выкладки с заменой x1 на x2 , . . ., xn ,
приходим к оценке kuks,p 6 K8 kukW f . Теорема доказана.
     Полученный результат также можно распространить с Rn на слу-
чай областей Ω более общего вида, если использовать непрерывный из
fps (Ω) в W
W         fps (Rn ) оператор продолжения. Построению такого оператора
посвящена следующая
   Лемма 4.9. Пусть Ω — либо полупространство в Rn , либо равно-
мерно C 1 -регулярная область в Rn , и ∂Ω — ограниченное множество.
Тогда существует линейный непрерывный оператор E, действующий
из Lp (Ω) в Lp (Rn ), такой, что
   1) Eu(x) = u(x) почти всюду на Ω;
   2) E действует из W   fps (Ω) в W
                                   fps (Rn ) и непрерывен.
                                             n
   Доказательство. Пусть сначала Ω = R+        = {x ∈ Rn | xn > 0}. Обо-
значим x0 = Ln−1 x и для u ∈ Lp (Ω) положим
                             (
                                   u(x),       xn > 0,
                    Eu(x) =
                                u(x0 , −xn ), xn < 0.

Страницы