Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

114 Пространства Соболева дробного порядка
так как λ > 0 и n − 1 −2λ < 0. Положим
y
i
= z
i
, 1 6 i 6 j, x
j
= t + y
j
, x
i
= z
i
, j + 1 6 i 6 n.
Тогда для (5.3) будем иметь
Q
j
6 2K
3
∞
Z
0
t
(ν−1)p
dt
Z
R
n
|u(z
1
, . . . , z
j
+ t, . . . , z
n
) − u(z
1
, . . . , z
n
)|
p
dz.
Следовательно, u ∈
f
W и kuk
f
W
6 K
4
kuk
s,p
.
Обратно, предположим, что u ∈
f
W . Пусть x
0
= M
2
x, z
0
= M
2
z.
Очевидно, что
|u(x
1
+ t, x
0
) − u(x)|
p
6
6 K
5
µ
|u(x
1
+ t, x
0
) − u(x
1
+ 0.5t, z
0
)|
p
+ |u(x
1
+ 0.5t, z
0
) − u(x)|
p
.
Интегрируя это неравенство по z
0
по области
D(t, x
0
) = {y
0
∈ R
n−1
| |x
0
− y
0
| 6 0.5t},
получим
|u(x
1
+ t, x
0
) − u(x)|
p
6
K
6
t
n−1
(I
t
(t, x) + I
t
(0, x)) ,
где
I
t
(s, x) =
Z
D(t,x
0
)
|u(x
1
+ s, x
0
) − u(x
1
+ 0.5t, z
0
)|
p
dz
0
, s = 0, t.
Имеем
∞
Z
0
t
(ν−1)p
dt
Z
R
n
1
t
n−1
I
t
(t, x)dx =
=
Z
R
n−1
dx
0
∞
Z
0
1
t
2λ
dt
Z
D(t,x
0
)
dz
0
∞
Z
−∞
|u(x
1
+ t, x
0
) − u(x
1
+ 0.5t, z
0
)|
p
dx
1
=
=
Z
R
n−1
dx
0
∞
Z
0
1
t
2λ
dt
Z
D(t,x
0
)
dz
0
∞
Z
−∞
|u(x
1
, x
0
) − u(x
1
− 0.5t, z
0
)|
p
dx
1
=
114                                                                    Пространства Соболева дробного порядка


так как λ > 0 и n − 1 − 2λ < 0. Положим

                yi = zi , 1 6 i 6 j, xj = t + yj , xi = zi , j + 1 6 i 6 n.

Тогда для (5.3) будем иметь
                         Z∞                       Z
      Qj 6 2K3                   t(ν−1)p
                                           dt          |u(z1 , . . . , zj + t, . . . , zn ) − u(z1 , . . . , zn )|p dz.
                         0                        Rn

                   f и kukf 6 K4 kuk .
Следовательно, u ∈ W         W              s,p
   Обратно, предположим, что u ∈ W        f . Пусть x0 = M2 x, z 0 = M2 z.
Очевидно, что
                                                p
                        |u(x1 + t, x0 ) − u(x)| 6
       µ                                                                    ¶
                                            p                             p
  6 K5 |u(x1 + t, x0 ) − u(x1 + 0.5t, z 0 )| + |u(x1 + 0.5t, z 0 ) − u(x)| .

Интегрируя это неравенство по z 0 по области

                                 D(t, x0 ) = {y 0 ∈ Rn−1 | |x0 − y 0 | 6 0.5t},

получим
                                                                p       K6
                     |u(x1 + t, x0 ) − u(x)| 6                              (It (t, x) + It (0, x)) ,
                                                                       tn−1
где
                                 Z
                                                                                          p
       It (s, x) =                      |u(x1 + s, x0 ) − u(x1 + 0.5t, z 0 )| dz 0 ,                    s = 0, t.
                             D(t,x0 )

Имеем
                                          Z∞                    Z
                                                                       1
                                                  t(ν−1)p dt                 It (t, x)dx =
                                                                      tn−1
                                           0                    Rn
        Z                Z∞                   Z               Z∞
                     0            1                                                                          p
  =             dx                   dt                dz 0      |u(x1 + t, x0 ) − u(x1 + 0.5t, z 0 )| dx1 =
                                 t2λ
       Rn−1              0               D(t,x0 )         −∞

            Z                Z∞                   Z             Z∞
                                      1                                                                  p
       =          dx0                    dt              dz 0        |u(x1 , x0 ) − u(x1 − 0.5t, z 0 )| dx1 =
                                     t2λ
           Rn−1              0             D(t,x0 )           −∞

Страницы