Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

112 Пространства Соболева дробного порядка
Доказательство. Из интерполяционного свойства пространства сле-
дов (теорема 4.2) следует, что E является оператором продолжения из
W
s
p
(Ω) в W
s
p
(R
n
) (теорему 4.2 следует применить для L = E). Пусть
R
Ω
: W
s
p
(R
n
) → W
s
p
(Ω) — оператор сужения на Ω функций, определен-
ных на R
n
. Применяя теорему 4.2 для оператора R
Ω
, нетрудно показать
непрерывность этого оператора. Таким образом,
W
s
p
(Ω) = R
Ω
E(W
s
p
(Ω)) ⊂ R
Ω
(W
s
p
(R
n
)) ⊂ W
s
p
(Ω),
что доказывает теорему.
Теорема 4.7. В условиях предыдущей теоремы множество суже-
ний на Ω функций из C
∞
0
(R
n
) плотно в W
s
p
(Ω).
Доказательство. Пусть
e
P
j
u = R
Ω
P
j
Eu, где P
j
— операторы, опре-
деленные при доказательстве теоремы 4.5. Тогда для любой функции
u ∈ W
s
p
(Ω)
lim
j→∞
k
e
P
j
u − uk
s,p,Ω
= lim
j→∞
kP
j
Eu − Euk
s,p,R
n
= 0.
Для завершения доказательства осталось заметить, что P
j
Eu ∈ C
∞
0
(R
n
).
Мы определили пространство W
s
p
(Ω) ⊂ L
p
(Ω) как пространство сле-
дов на n-мерной области Ω ⊂ R
n
некоторого класса функций, опреде-
ленных на n + 1-мерной области Ω ×R
+
⊂ R
n+1
. Как будет показано ни-
же, при некоторых условиях регулярности области Ω функции из W
s
p
(Ω)
можно охарактеризовать, используя лишь их значения на Ω. Именно, бу-
дет показано, что в некоторых случаях пространство W
s
p
(Ω) совпадает с
пространством
f
W
s
p
(Ω) функций из L
p
(Ω) с конечной нормой
kuk
f
W
s
p
(Ω)
=
µ
kuk
p
0,p,Ω
+
Z
Ω
Z
Ω
|u(x) − u(y)|
p
|x − y|
n+sp
dxdy
1/p
. (5.2)
Теорема 4.8. Пространства W
s
p
(R
n
) и
f
W
s
p
(R
n
) совпадают и их
нормы эквивалентны.
Доказательство. Как было показано в примере в конце предыдуще-
го параграфа, в качестве нормы пространства W
s
p
(R
n
) мы можем взять
112                                            Пространства Соболева дробного порядка


     Доказательство. Из интерполяционного свойства пространства сле-
дов (теорема 4.2) следует, что E является оператором продолжения из
Wps (Ω) в Wps (Rn ) (теорему 4.2 следует применить для L = E). Пусть
RΩ : Wps (Rn ) → Wps (Ω) — оператор сужения на Ω функций, определен-
ных на Rn . Применяя теорему 4.2 для оператора RΩ , нетрудно показать
непрерывность этого оператора. Таким образом,

           Wps (Ω) = RΩ E(Wps (Ω)) ⊂ RΩ (Wps (Rn )) ⊂ Wps (Ω),

что доказывает теорему.
   Теорема 4.7. В условиях предыдущей теоремы множество суже-
ний на Ω функций из C0∞ (Rn ) плотно в Wps (Ω).
   Доказательство. Пусть Pej u = RΩ Pj Eu, где Pj — операторы, опре-
деленные при доказательстве теоремы 4.5. Тогда для любой функции
u ∈ Wps (Ω)

            lim kPej u − uks,p,Ω = lim kPj Eu − Euks,p,Rn = 0.
            j→∞                              j→∞

Для завершения доказательства осталось заметить, что Pj Eu ∈ C0∞ (Rn ).
    Мы определили пространство Wps (Ω) ⊂ Lp (Ω) как пространство сле-
дов на n-мерной области Ω ⊂ Rn некоторого класса функций, опреде-
ленных на n + 1-мерной области Ω × R+ ⊂ Rn+1 . Как будет показано ни-
же, при некоторых условиях регулярности области Ω функции из Wps (Ω)
можно охарактеризовать, используя лишь их значения на Ω. Именно, бу-
дет показано, что в некоторых случаях пространство Wps (Ω) совпадает с
пространством Wfps (Ω) функций из Lp (Ω) с конечной нормой
                         µ                   Z Z                         ¶1/p
                                                   |u(x) − u(y)|p
          kukW
             f s (Ω) =       kukp0,p,Ω   +                        dxdy          .   (5.2)
               p                                     |x − y|n+sp
                                             Ω Ω

                                         fps (Rn ) совпадают и их
   Теорема 4.8. Пространства Wps (Rn ) и W
нормы эквивалентны.
    Доказательство. Как было показано в примере в конце предыдуще-
го параграфа, в качестве нормы пространства Wps (Rn ) мы можем взять

Страницы