Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 5. Пространства Соболева W
s
p
(Ω) дробного порядка 113
норму
kuk
s,p
=
µ
kuk
p
0,p,R
n
+
n
X
j=1
∞
Z
0
t
(ν−1)p
Z
R
n
|u(x + tx
j
) − u(x)|
p
dxdt
1/p
.
Для краткости записи для пространства
f
W
s
p
(R
n
) будем использовать обо-
значение
f
W .
Пусть u ∈ W
s
p
(R
n
). Для точки x ∈ R
n
положим L
j
x = (x
1
, . . . , x
j
),
M
j
x = (x
j
, . . . , x
n
), j = 1, . . . , n. Ясно, что x = (L
j
x, M
j+1
x). Пусть
λ = (n + sp)/2 = (n − 1 + (1 − ν)p)/2. Запишем разность u(x) − u(y) в
форме
u(x) − u(y) =
n
X
j=1
(u(L
j−1
y, M
j
x) − u(L
j
y, M
j+1
x)).
Нетрудно показать, что
Z
R
n
Z
R
n
|u(x) − u(y)|
p
|x − y|
n+sp
dxdy 6 K
1
n
X
j=1
Q
j
,
где
Q
j
=
Z
R
n
Z
R
n
|u(L
j−1
y, M
j
x) − u(L
j
y, M
j+1
x)|
p
|x − y|
2λ
dxdy.
Ясно, что
Q
j
=
Z
R
j
dL
j
y
Z
R
n+1−j
dM
j
x|u(L
j−1
y, M
j
x) − u(L
j
y, M
j+1
x)|
p
R
j
, (5.3)
где
R
j
=
Z
R
n−j
Z
R
j−1
dL
j−1
xdM
j
y
|x − y|
2λ
.
Пусть ρ
2
= |L
j−1
(x − y)|
2
+ |M
j
(x − y)|
2
. Тогда
R
j
= K
2
µ
|x
j
−y
j
|
Z
0
+
∞
Z
|x
j
+y
j
ρ
n−2
(ρ
2
+ (x
j
− y
j
)
2
)
λ
dρ 6
6
K
2
|x
j
− y
j
|
2λ
|x
j
−y
j
|
Z
0
ρ
n−2
dρ + K
2
∞
Z
|x
j
−y
j
|
ρ
n−2−2λ
dρ = K
3
|x
j
− y
j
|
(ν−1)p
,
§ 5. Пространства Соболева Wps (Ω) дробного порядка                                                      113


норму
                   µ                      n Z
                                          X
                                                 ∞             Z                              ¶1/p
      kuks,p =         kukp0,p,Rn +                  t(ν−1)p        |u(x + txj ) − u(x)|p dxdt     .
                                          j=1 0                Rn

Для краткости записи для пространства W          fs (Rn ) будем использовать обо-
                                                   p
         f
значение W .
    Пусть u ∈ Wps (Rn ). Для точки x ∈ Rn положим Lj x = (x1 , . . . , xj ),
Mj x = (xj , . . . , xn ), j = 1, . . . , n. Ясно, что x = (Lj x, Mj+1 x). Пусть
λ = (n + sp)/2 = (n − 1 + (1 − ν)p)/2. Запишем разность u(x) − u(y) в
форме
                              Xn
          u(x) − u(y) =           (u(Lj−1 y, Mj x) − u(Lj y, Mj+1 x)).
                                           j=1
Нетрудно показать, что
                Z Z                            Xn
                      |u(x) − u(y)|p
                                     dxdy 6 K1     Qj ,
                        |x − y|n+sp            j=1
                            Rn Rn
где                         Z Z
                                        |u(Lj−1 y, Mj x) − u(Lj y, Mj+1 x)|p
                  Qj =                                                                dxdy.
                                                           |x − y|2λ
                            Rn Rn
Ясно, что
         Z    Z
   Qj = dLj y                           dMj x|u(Lj−1 y, Mj x) − u(Lj y, Mj+1 x)|p Rj ,              (5.3)
             Rj             Rn+1−j
где                                              Z     Z
                                                            dLj−1 xdMj y
                                        Rj =                                  .
                                                                 |x − y|2λ
                                               Rn−j Rj−1

Пусть ρ2 = |Lj−1 (x − y)|2 + |Mj (x − y)|2 . Тогда
                            µ |xZj −yj | Z∞ ¶
                                                                      ρn−2
                   Rj = K 2             +                                           dρ 6
                                                               (ρ2 + (xj − yj )2 )λ
                                          0       |xj +yj

                            |xZ
                              j −yj |                       Z∞
              K2
      6                2λ
                                     ρn−2 dρ + K2                   ρn−2−2λ dρ = K3 |xj − yj |(ν−1)p ,
          |xj − yj |
                              0                         |xj −yj |

Страницы