Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 5. Пространства Соболева W
s
p
(Ω) дробного порядка 111
Таким образом, для θ = ν + 1/p имеем: 0 < θ < 1.
Обозначим через W
s
p
(Ω) пространство следов T (p, ν; W
1
p
(Ω), L
p
(Ω)),
норму этого пространства — через kuk
s,p,Ω
. Следовательно,
kuk
s,p,Ω
=
= inf
f∈W
u
max
½µ
∞
Z
0
t
νp
kf(t)k
p
1,p,Ω
dt
1/p
,
µ
∞
Z
0
t
νp
kf
0
(t)k
p
0,p,Ω
dt
1/p
¾
, (5.1)
где W = W (p, ν; W
1
p
(Ω), L
p
(Ω)).
Теорема 4.5. C
∞
0
(R
n
) плотно в W
s
p
(R
n
).
Доказательство. Теорема верна для s = 0 и s = 1 (см. теорему 2.6).
Пусть ψ ∈ C
∞
(R), ψ(t) = 1 при t 6 0 и ψ(t) = 0 при t > 1. Определим
ψ
j
∈ C
∞
(R
n
), положив ψ
j
(x) = ψ(|x| − j). Пусть
P
j
u = J
1/j
∗ (ψ
j
u), j = 1, 2, . . .
Очевидно, P
j
есть линейный непрерывный из W
m
p
(R
n
) в W
m
p
(R
n
) опера-
тор с областью значений в C
∞
0
(R
n
). По лемме 2.1 для u ∈ W
m
p
(R
n
) при
целых m ≥ 0 справедливо равенство
lim
j→∞
kP
j
u − uk
m,p,R
n
= 0.
Поэтому по лемме 4.7 для u ∈ W
s
p
(R
n
) = T (p, ν; W
1
p
(R
n
), L
p
(R
n
)) имеем
lim
j→∞
kP
j
u − uk
s,p,R
n
= 0.
Теорема доказана.
Утверждение теоремы 4.5, как и многие другие свойства пространств
W
s
p
(Ω), могут быть доказаны для областей Ω более общего вида с помо-
шью операторов продолжения с Ω на R
n
.
Теорема 4.6. Предположим, что существует оператор E, явля-
ющийся одновременно оператором продолжения из L
p
(Ω) в L
p
(R
n
) и
из W
1
p
(Ω) в W
1
p
(R
n
).
6
Тогда пространство W
s
p
(Ω) совпадает с множе-
ством сужений всех функций из W
s
p
(R
n
).
6
Этим условиям удовлетворяет, например, построенный в главе 3 оператор m-сильного продол-
жения при m ≥ 1.
§ 5. Пространства Соболева Wps (Ω) дробного порядка                                       111


Таким образом, для θ = ν + 1/p имеем: 0 < θ < 1.
   Обозначим через Wps (Ω) пространство следов T (p, ν; Wp1 (Ω), Lp (Ω)),
норму этого пространства — через kuks,p,Ω . Следовательно,

       kuks,p,Ω =
                   ½µZ∞                         ¶1/p µZ∞                      ¶1/p ¾
                                                                      p
  = inf max                tνp kf (t)kp1,p,Ω dt     ,    tνp kf 0 (t)k0,p,Ω dt       ,   (5.1)
      f ∈Wu
                       0                              0
где W =       W (p, ν; Wp1 (Ω), Lp (Ω)).
      Теорема 4.5. C0∞ (Rn ) плотно в Wps (Rn ).
    Доказательство. Теорема верна для s = 0 и s = 1 (см. теорему 2.6).
Пусть ψ ∈ C ∞ (R), ψ(t) = 1 при t 6 0 и ψ(t) = 0 при t > 1. Определим
ψj ∈ C ∞ (Rn ), положив ψj (x) = ψ(|x| − j). Пусть

                           Pj u = J1/j ∗ (ψj u),      j = 1, 2, . . .

Очевидно, Pj есть линейный непрерывный из Wpm (Rn ) в Wpm (Rn ) опера-
тор с областью значений в C0∞ (Rn ). По лемме 2.1 для u ∈ Wpm (Rn ) при
целых m ≥ 0 справедливо равенство

                                lim kPj u − ukm,p,Rn = 0.
                                j→∞

Поэтому по лемме 4.7 для u ∈ Wps (Rn ) = T (p, ν; Wp1 (Rn ), Lp (Rn )) имеем

                                 lim kPj u − uks,p,Rn = 0.
                                j→∞

Теорема доказана.
     Утверждение теоремы 4.5, как и многие другие свойства пространств
Wps (Ω), могут быть доказаны для областей Ω более общего вида с помо-
шью операторов продолжения с Ω на Rn .
   Теорема 4.6. Предположим, что существует оператор E, явля-
ющийся одновременно оператором продолжения из Lp (Ω) в Lp (Rn ) и
из Wp1 (Ω) в Wp1 (Rn ).6 Тогда пространство Wps (Ω) совпадает с множе-
ством сужений всех функций из Wps (Rn ).
  6
   Этим условиям удовлетворяет, например, построенный в главе 3 оператор m-сильного продол-
жения при m ≥ 1.

Страницы