Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

110 Пространства Соболева дробного порядка
качестве функции g(t) нужно взять
g(t) =
1
t
n
t
Z
0
t
Z
0
. . .
t
Z
0
G
1
(τ
1
)G
2
(τ
2
) . . . G
n
(τ
n
)udτ
1
dτ
2
. . . dτ
n
.
Рассмотрим далее важный с точки зрения последующих рассужде-
ний
Пример 4.7. Пусть B = L
p
(R
n
), 1 6 p < ∞. Для u ∈ B рассмотрим
полугруппы сдвигов по координатным направлениям
(G
j
(t)u)(x) = u(x
1
, . . . , x
j−1
, x
j
+ t, x
j+1
, . . . , x
n
), (t > 0).
Нетрудно видеть, что G
j
коммутируют, непрерывны на B = L
p
(R
n
) и
равномерно ограничены (M
j
= 1). При этом инфинитезимальным про-
изводящим оператором Λ
j
будет слабая производная D
j
по переменной
x
j
, и D(Λ
j
) = {u ∈ L
p
(R
n
) | D
j
u ∈ L
p
(R
n
)}. Ясно, что
D(Λ) =
n
\
j=1
D(Λ
j
) = W
1
p
(R
n
).
По теореме 4.4 норма
µ
kuk
p
0,p,R
n
+
n
X
j=1
∞
Z
0
t
(ν−1)p
Z
R
n
|u(x + te
j
) − u(x)|
p
dxdt
1/p
эквивалентна норме пространства следов T = T (p, ν; W
1
p
(R
n
), L
p
(R
n
)),
если 0 < 1/p + ν < 1. Здесь (x + te
j
) = (x
1
, . . . , x
j
+ t, . . . , x
n
).
§ 5. Пространства Соболева W
s
p
(Ω) дробного порядка
В этом разделе мы определим пространства W
s
p
(Ω) для s ∈ (0, 1)
и p ∈ (1, ∞). Такие пространства называют пространствами Соболева-
Слободецкого.
В дальнейшем всюду s, p, ν обозначают числа, удовлетворяющие
условиям:
0 < s < 1, 1 < p < ∞, ν = 1 − s −
1
p
.
110                                                      Пространства Соболева дробного порядка


качестве функции g(t) нужно взять
                      Zt Zt          Zt
                1
         g(t) = n              ...        G1 (τ1 )G2 (τ2 ) . . . Gn (τn )udτ1 dτ2 . . . dτn .
                t
                      0    0         0

      Рассмотрим далее важный с точки зрения последующих рассужде-
ний
   Пример 4.7. Пусть B = Lp (Rn ), 1 6 p < ∞. Для u ∈ B рассмотрим
полугруппы сдвигов по координатным направлениям

        (Gj (t)u)(x) = u(x1 , . . . , xj−1 , xj + t, xj+1 , . . . , xn ),          (t > 0).

Нетрудно видеть, что Gj коммутируют, непрерывны на B = Lp (Rn ) и
равномерно ограничены (Mj = 1). При этом инфинитезимальным про-
изводящим оператором Λj будет слабая производная Dj по переменной
xj , и D(Λj ) = {u ∈ Lp (Rn ) | Dj u ∈ Lp (Rn )}. Ясно, что
                                              n
                                              \
                               D(Λ) =               D(Λj ) = Wp1 (Rn ).
                                              j=1

По теореме 4.4 норма
          µ                    n Z
                               X
                                     ∞              Z                             ¶1/p
              kukp0,p,Rn   +              (ν−1)p
                                          t                                   p
                                                         |u(x + tej ) − u(x)| dxdt
                               j=1 0                Rn

эквивалентна норме пространства следов T = T (p, ν; Wp1 (Rn ), Lp (Rn )),
если 0 < 1/p + ν < 1. Здесь (x + tej ) = (x1 , . . . , xj + t, . . . , xn ).

       § 5. Пространства Соболева Wps (Ω) дробного порядка

    В этом разделе мы определим пространства Wps (Ω) для s ∈ (0, 1)
и p ∈ (1, ∞). Такие пространства называют пространствами Соболева-
Слободецкого.
    В дальнейшем всюду s, p, ν обозначают числа, удовлетворяющие
условиям:
                                                  1
               0 < s < 1, 1 < p < ∞, ν = 1 − s − .
                                                  p

Страницы