Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

108 Пространства Соболева дробного порядка
По лемме 4.2 (b)
t
Z
0
G(τ)udτ ∈ D(Λ), Λ
t
Z
0
G(τ)udτ = G(t)u − u.
Таким образом,
1
Z
0
t
νp
kg(t)k
p
D(Λ)
dt =
=
1
Z
0
t
(ν−1)p
k
t
Z
0
G(τ)udτk
B
+ kΛ
t
Z
0
G(τ)udτk
B
p
dt 6
6 2
p−1
M
p
kuk
p
B
1
Z
0
t
νp
dt + 2
p−1
∞
Z
0
t
(ν−1)p
kG(t)u −uk
p
B
dt 6
6 2
p−1
max(M
p
θ/p, 1) kuk
p
T
0
.
Так как
g
0
(t) =
1
t
G(t)u −
1
t
2
t
Z
0
(G(τ)u −u)dτ,
1
Z
0
t
(ν−1)p
kG(t)u −uk
p
B
dt 6 kuk
p
T
0
,
то, заменяя в лемме 4.8 величину ν на ν − 1, получим
1
Z
0
t
νp
k
1
t
2
t
Z
0
(G(τ)u −u)dτk
p
B
dt 6
6
1
(2 −θ)
p
∞
Z
0
t
(ν−1)p
kG(t)u −uk
p
B
dt 6
1
(2 −θ)
P
kuk
p
T
0
,
то есть
1
Z
0
t
νp
kg
0
(t)k
p
B
dt 6 K
4
kuk
p
T
0
.
108                                                        Пространства Соболева дробного порядка


      По лемме 4.2 (b)
              Zt                                               Zt
                   G(τ )udτ ∈ D(Λ),                        Λ        G(τ )udτ = G(t)u − u.
              0                                                0

Таким образом,
                   Z1
                        tνp kg(t)kpD(Λ) dt =
                   0
                                                                                     p
              Z1                     Zt                               Zt
          =        t(ν−1)p k             G(τ )udτ kB + kΛ                 G(τ )udτ kB  dt 6
              0                      0                                 0
                                     Z1                        Z∞
          6 2p−1 M p kukpB                tνp dt + 2p−1             t(ν−1)p kG(t)u − ukpB dt 6
                                     0                         0

                                    62    p−1
                                                max(M θ/p, 1) kukpT 0 .
                                                           p


Так как
                                                               Zt
                                   1        1
                          g 0 (t) = G(t)u − 2                       (G(τ )u − u)dτ,
                                   t       t
                                                               0
                            Z1
                                    t(ν−1)p kG(t)u − ukpB dt 6 kukpT 0 ,
                            0
то, заменяя в лемме 4.8 величину ν на ν − 1, получим
                            Z1                  Zt
                                           1
                                    tνp   k 2        (G(τ )u − u)dτ kpB dt 6
                                           t
                            0                   0

                                Z∞
                 1                                                               1
            6                        t(ν−1)p kG(t)u − ukpB dt 6                       kuk p
                                                                                          T 0,
              (2 − θ)p                                                       (2 − θ)P
                                0
то есть
                                    Z1
                                                       p
                                          tνp kg 0 (t)kB dt 6 K4 kukpT 0 .
                                    0

Страницы