Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

106 Пространства Соболева дробного порядка
Лемма 4.8. Пусть f — вещественная функция, определенная на
[0, ∞), и пусть
g(t) =
1
t
t
Z
0
f(s)ds.
Если 1 6 p < ∞, θ = 1 /p + ν < 1, то
∞
Z
0
t
νp
|g(t)|
p
dt 6
1
(1 −θ)
p
∞
Z
0
t
νp
|f(t)|
p
dt.
Теорема 4.3. Если 1 6 p < ∞, 0 < 1/p + ν < 1, то пространство
T = T (p, ν; D(Λ), B) совпадает с пространством T
0
, и нормы k ·k
T
и
k · k
T
0
эквивалентны.
Доказательство. Пусть u ∈ T, и f ∈ W такова, что f(0) = u, и f
как функция из (0, ∞) в D(Λ) бесконечно дифференцируема. Положим
h(t) = f
0
(t) − Λf(t). Если 0 < ε 6 t, то по теореме 4.1
f(t) = G(t − ε)f(ε) +
t
Z
ε
G(t − ε)h(τ)dτ.
Следовательно,
G(t − ε)f(ε) −f(ε) =
t
Z
ε
f
0
(τ)dτ −
t
Z
ε
G(t − τ)h(τ)dτ.
Переходя к пределу по ε → 0+, получим
G(t)f(0) −f(0) =
t
Z
0
f
0
(τ)dτ −
t
Z
0
G(t − τ)h(τ)dτ.
По лемме 4.3 последнее равенство останется справедливым и для всех
f ∈ W . Таким образом, для u ∈ T и f ∈ W
u
имеем
G(t)u − u =
t
Z
0
f
0
(τ)dτ −
t
Z
0
G(t − τ)h(τ)dτ, h(τ) = f
0
(τ) −Λf(τ).
106                                                 Пространства Соболева дробного порядка


    Лемма 4.8. Пусть f — вещественная функция, определенная на
[0, ∞), и пусть
                               Zt
                             1
                      g(t) =      f (s)ds.
                             t
                                                   0
Если 1 6 p < ∞, θ = 1/p + ν < 1, то
                    Z∞                                      Z∞
                                             1
                         tνp |g(t)|p dt 6                           tνp |f (t)|p dt.
                                          (1 − θ)p
                     0                                      0


     Теорема 4.3. Если 1 6 p < ∞, 0 < 1/p + ν < 1, то пространство
T = T (p, ν; D(Λ), B) совпадает с пространством T 0 , и нормы k · kT и
k · kT 0 эквивалентны.
    Доказательство. Пусть u ∈ T , и f ∈ W такова, что f (0) = u, и f
как функция из (0, ∞) в D(Λ) бесконечно дифференцируема. Положим
h(t) = f 0 (t) − Λf (t). Если 0 < ε 6 t, то по теореме 4.1
                                                       Zt
                    f (t) = G(t − ε)f (ε) +                 G(t − ε)h(τ )dτ.
                                                       ε

Следовательно,
                                             Zt                     Zt
         G(t − ε)f (ε) − f (ε) =                  f 0 (τ )dτ −           G(t − τ )h(τ )dτ.
                                              ε                      ε

Переходя к пределу по ε → 0+, получим
                                         Zt                     Zt
           G(t)f (0) − f (0) =                f 0 (τ )dτ −           G(t − τ )h(τ )dτ.
                                         0                      0

По лемме 4.3 последнее равенство останется справедливым и для всех
f ∈ W . Таким образом, для u ∈ T и f ∈ Wu имеем
                Zt                  Zt
  G(t)u − u =        f 0 (τ )dτ −        G(t − τ )h(τ )dτ,                h(τ ) = f 0 (τ ) − Λf (τ ).
                0                   0

Страницы