Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

104 Пространства Соболева дробного порядка
Доказательство. В силу плотности B
1
∩B
2
в каждом из B
i
оператор
L по непрерывности можно единственным образом продолжить до ли-
нейного непрерывного оператора из B
i
в A
i
(i = 1, 2), а, следовательно,
и из B
1
+ B
2
в A
1
+ A
2
, при этом kLuk
A
1
+A
2
6 max(K
1
, K
2
)kuk
B
1
+B
2
. Так
как L определен на B
1
+ B
2
, то он определен и на T . По предыдущей
лемме для произвольного u ∈ T и ε > 0 найдется элемент f ∈ W такой,
что f(0) = u и
kt
ν
fk
1−θ
L
p
(0,∞;B
1
)
kt
ν
f
0
k
θ
L
p
(0,∞;B
2
)
< kuk
T
+ ε.
Полагая g(t) = Lf(t), мы, очевидно, будем иметь g ∈ W (p, ν; A
1
, A
2
),
Lu = Lf(0) = g(0) ∈
e
T и
kLuk
e
T
6 kt
ν
gk
1−θ
L
p
(0,∞;A
1
)
kt
ν
g
0
k
θ
L
p
(0,∞;A
2
)
6
6 K
1−θ
1
kt
ν
fk
1−θ
L
p
(0,∞;B
1
)
K
θ
2
kt
ν
f
0
k
θ
L
p
(0,∞;B
2
)
< K
1−θ
1
K
θ
2
(kuk
T
+ ε),
что в силу произвольности ε > 0 доказывает теорему.
Замечание 4.2. Из теоремы 4.2 следует, что
kLk
L(T,
e
T )
6 kLk
1−θ
L(B
1
,A
1
)
kLk
θ
L(B
2
,A
2
)
,
где L(Y
1
, Y
2
) — пространство линейных ограниченных операторов, действующих из Y
1
в Y
2
.
Лемма 4.7. Предположим, что B
1
T
B
2
плотно в B
1
и в B
2
,
и существует последовательность линейных операторов {P
j
}
∞
j=1
из
L(B
1
)
T
L(B
2
) с областью значений в B
1
T
B
2
такая, что
lim
j→∞
kP
j
b − bk
B
i
= 0 ∀b ∈ B
i
, i = 1, 2.
Тогда для всех u ∈ T
lim
j→∞
kP
j
u − uk
T
= 0,
и B
1
T
B
2
плотно в T .
Доказательство. Зафиксируем u ∈ T и выберем f ∈ W так, чтобы
f(0) = u. Пусть f
j
(t) = P
j
f(t). Если b ∈ B
i
, то существует j
0
= j
0
(b) со
свойством:
kP
j
b − bk
B
i
6 1 ∀j > j
0
.
104                                             Пространства Соболева дробного порядка


    Доказательство. В силу плотности B1 ∩ B2 в каждом из Bi оператор
L по непрерывности можно единственным образом продолжить до ли-
нейного непрерывного оператора из Bi в Ai (i = 1, 2), а, следовательно,
и из B1 + B2 в A1 + A2 , при этом kLukA1 +A2 6 max(K1 , K2 )kukB1 +B2 . Так
как L определен на B1 + B2 , то он определен и на T . По предыдущей
лемме для произвольного u ∈ T и ε > 0 найдется элемент f ∈ W такой,
что f (0) = u и
                                               θ
                    ktν f k1−θ            ν 0
                           Lp (0,∞;B1 ) kt f kLp (0,∞;B2 ) < kukT + ε.

Полагая g(t) = Lf (t), мы, очевидно, будем иметь g ∈ W (p, ν; A1 , A2 ),
Lu = Lf (0) = g(0) ∈ Te и
                                                             θ
                    kLukTe 6 ktν gk1−θ            ν 0
                                   Lp (0,∞;A1 ) kt g kLp (0,∞;A2 ) 6

                                               θ
        6 K11−θ ktν f k1−θ           θ ν 0                   1−θ θ
                       Lp (0,∞;B1 ) K2 kt f kLp (0,∞;B2 ) < K1 K2 (kukT + ε),

что в силу произвольности ε > 0 доказывает теорему.
      Замечание 4.2. Из теоремы 4.2 следует, что

                           kLkL(T,Te) 6 kLk1−θ           θ
                                           L(B1 ,A1 ) kLkL(B2 ,A2 ) ,

где L(Y1 , Y2 ) — пространство линейных ограниченных операторов, действующих из Y1 в Y2 .
                                       T
   Лемма 4.7. Предположим, что B1 B2 плотно в B1 и в B2 ,
и существует последовательность линейных операторов {Pj }∞
                                                         j=1 из
      T                               T
L(B1 ) L(B2 ) с областью значений в B1 B2 такая, что

                   lim kPj b − bkBi = 0             ∀b ∈ Bi ,       i = 1, 2.
                  j→∞

Тогда для всех u ∈ T
                                 lim kPj u − ukT = 0,
                                j→∞
       T
и B1       B2 плотно в T .
    Доказательство. Зафиксируем u ∈ T и выберем f ∈ W так, чтобы
f (0) = u. Пусть fj (t) = Pj f (t). Если b ∈ Bi , то существует j0 = j0 (b) со
свойством:
                        kPj b − bkBi 6 1     ∀j > j0 .

Страницы