Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 4. Полугрупповая характеристика пространства следов 105
Следовательно, для каждого b ∈ B
i
последовательность {P
j
b} ограниче-
на в B
i
, i = 1, 2. В силу принципа равномерной ограниченности суще-
ствуют постоянные K
i
, i = 1, 2, такие, что
kP
j
k
L(B
i
)
6 K
i
.
Поэтому для i = 1, 2
kf
j
(t)k
B
1
6 K
1
kf(t)k
B
1
, kf
0
j
(t)k
B
2
6 K
2
kf
0
(t)k
B
2
.
Так как для почти всех t > 0 f
j
(t) → f(t) в B
1
и f
0
j
(t) → f
0
(t) в B
2
при j → ∞, то, очевидно, t
ν
f
j
→ t
ν
f в L
p
(0, ∞; B
1
) и t
ν
f
0
j
→ t
ν
f
0
в
L
p
(0, ∞; B
2
). Это означает, что f
j
→ f в W , и поэтому при j → ∞
P
j
u = P
j
f(0) → f(0) = u в T . Так как функции t
ν
f
j
и t
ν
f
0
j
принимают
значения в B
1
T
B
2
, то P
j
u ∈ B
1
T
B
2
. Лемма доказана.
§ 4. Полугрупповая характеристика пространства следов
Пусть B — банахово пространство и G — непрерывная полугруппа
на B, которая предполагается равномерно ограниченной, то есть
kG(t)k
L(B)
6 M, 0 6 t < ∞.
Пусть Λ — инфинитезимальный производящий оператор полугруппы G
с (плотной) областью определения D(Λ) ⊂ B и с нормой графика
kuk
D(Λ)
= kuk
B
+ kΛuk
B
.
Определим пространство следов T = T (p, ν; D(Λ, B) при θ = 1/p+ν < 1.
В этом параграфе мы дадим другую характеристику пространства T с
использованием полугруппы G. Для этого определим пространство T
0
,
состоящее из всех элементов u ∈ B, для которых конечна норма
kuk
T
0
= (kuk
p
B
+
∞
Z
0
t
(ν−1)p
kG(t)u − uk
p
B
dt)
1/p
. (4.1)
Прежде, чем сформулировать основной результат, приведем без доказа-
тельства следующую вспомогательную лемму (см., напр., [4]).
§ 4. Полугрупповая характеристика пространства следов                       105


Следовательно, для каждого b ∈ Bi последовательность {Pj b} ограниче-
на в Bi , i = 1, 2. В силу принципа равномерной ограниченности суще-
ствуют постоянные Ki , i = 1, 2, такие, что

                                kPj kL(Bi ) 6 Ki .

Поэтому для i = 1, 2

            kfj (t)kB1 6 K1 kf (t)kB1 ,    kfj0 (t)kB 6 K2 kf 0 (t)kB2 .
                                                     2


Так как для почти всех t > 0 fj (t) → f (t) в B1 и fj0 (t) → f 0 (t) в B2
при j → ∞, то, очевидно, tν fj → tν f в Lp (0, ∞; B1 ) и tν fj0 → tν f 0 в
Lp (0, ∞; B2 ). Это означает, что fj → f в W , и поэтому при j → ∞
Pj u = Pj f (0) → f (0) = u в T . Так как функции tν fj и tν fj0 принимают
                T                  T
значения в B1 B2 , то Pj u ∈ B1 B2 . Лемма доказана.

   § 4. Полугрупповая характеристика пространства следов

   Пусть B — банахово пространство и G — непрерывная полугруппа
на B, которая предполагается равномерно ограниченной, то есть

                       kG(t)kL(B) 6 M,        0 6 t < ∞.

Пусть Λ — инфинитезимальный производящий оператор полугруппы G
с (плотной) областью определения D(Λ) ⊂ B и с нормой графика

                          kukD(Λ) = kukB + kΛukB .

Определим пространство следов T = T (p, ν; D(Λ, B) при θ = 1/p+ν < 1.
В этом параграфе мы дадим другую характеристику пространства T с
использованием полугруппы G. Для этого определим пространство T 0 ,
состоящее из всех элементов u ∈ B, для которых конечна норма
                                  Z∞
              kukT 0 = (kukpB +        t(ν−1)p kG(t)u − ukpB dt)1/p .      (4.1)
                                  0

Прежде, чем сформулировать основной результат, приведем без доказа-
тельства следующую вспомогательную лемму (см., напр., [4]).

Страницы