Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Пространство следов 103
Доказательство. (a) Фиксируем u ∈ T и ε > 0. Пусть f ∈ W , f(0) = u
и kfk
W
6 kuk
T
+ ε. Положим R = kt
ν
fk
L
p
(0,∞;B
1
)
, S = kt
ν
f
0
k
L
p
(0,∞;B
2
)
.
Для λ > 0 функция f
λ
(t) = f(λt) также принадлежит W и удовлетво-
ряет равенству f
λ
(0) = u. Кроме того,
kt
ν
f
λ
k
L
p
(0,∞;B
1
)
= λ
−θ
R, kt
ν
f
0
λ
k
L
p
(0,∞;B
2
)
= λ
1−θ
S.
Эти две нормы становятся равными R
1−θ
S
θ
при λ = R/S. Следователь-
но,
max(R, S) = kfk
W
6 kuk
T
+ ε 6 inf
λ>0
kf
λ
k
W
+ ε 6
6 inf
λ>0
max(λ
−θ
R, λ
1−θ
S) + ε 6 R
1−θ
S
θ
+ ε 6 max(R, S) + ε.
В силу произвольности ε > 0 утверждение (a) доказано.
(b) Выберем функцию ϕ ∈ C
∞
[0, ∞), удовлетворяющую условиям
ϕ(0) = 1, ϕ(t) = 0 при t > 1 и |ϕ
0
(t)| 6 K
1
для всех t > 0. Если
u ∈ B
1
∩ B
2
, то для f(t) = ϕ(t)u имеем f(0) = u и
kt
ν
fk
L
p
(0,∞;B
1
)
6 K
2
kuk
B
1
,
где K
2
= kt
ν
k
L
p
(0,1)
. Аналогично,
kt
ν
f
0
k
L
p
(0,∞;B
2
)
6 K
1
K
2
kuk
B
2
,
следовательно, f ∈ W , и утверждение (b) следует теперь из (a). Лемма
доказана.
Имеет место следующая
Теорема 4.2. Пусть пространства B
1
, B
2
непрерывно вложены
в некоторое пространство X, а пространства A
1
, A
2
— в
e
X, причем
B
1
∩ B
2
плотно в B
1
и в B
2
. Пусть далее L : B
1
∩ B
2
→ A
1
∩ A
2
—
линейный оператор, для которого справедливы оценки
kLuk
A
i
6 K
i
kuk
B
i
∀u ∈ B
1
∩ B
2
, i = 1, 2.
Тогда при 0 < θ = ν + 1/p < 1 оператор L является непрерывным
оператором из T = T (p, ν; B
1
, B
2
) в
e
T = T (p, ν; A
1
, A
2
) и имеет место
неравенство
kLuk
e
T
6 K
1−θ
1
K
θ
2
kuk
T
∀u ∈ T.
§ 3. Пространство следов                                                        103


   Доказательство. (a) Фиксируем u ∈ T и ε > 0. Пусть f ∈ W , f (0) = u
и kf kW 6 kukT + ε. Положим R = ktν f kLp (0,∞;B1 ) , S = ktν f 0 kLp (0,∞;B2 ) .
Для λ > 0 функция fλ (t) = f (λt) также принадлежит W и удовлетво-
ряет равенству fλ (0) = u. Кроме того,

            ktν fλ kLp (0,∞;B1 ) = λ−θ R,     ktν fλ0 kLp (0,∞;B2 ) = λ1−θ S.

Эти две нормы становятся равными R1−θ S θ при λ = R/S. Следователь-
но,
           max(R, S) = kf kW 6 kukT + ε 6 inf kfλ kW + ε 6
                                                        λ>0

       6 inf max(λ−θ R, λ1−θ S) + ε 6 R1−θ S θ + ε 6 max(R, S) + ε.
          λ>0

В силу произвольности ε > 0 утверждение (a) доказано.
   (b) Выберем функцию ϕ ∈ C ∞ [0, ∞), удовлетворяющую условиям
ϕ(0) = 1, ϕ(t) = 0 при t > 1 и |ϕ0 (t)| 6 K1 для всех t > 0. Если
u ∈ B1 ∩ B2 , то для f (t) = ϕ(t)u имеем f (0) = u и

                             ktν f kLp (0,∞;B1 ) 6 K2 kukB1 ,

где K2 = ktν kLp (0,1) . Аналогично,

                           ktν f 0 kLp (0,∞;B2 ) 6 K1 K2 kukB2 ,

следовательно, f ∈ W , и утверждение (b) следует теперь из (a). Лемма
доказана.
   Имеет место следующая
   Теорема 4.2. Пусть пространства B1 , B2 непрерывно вложены
                                                       e причем
в некоторое пространство X, а пространства A1 , A2 — в X,
B1 ∩ B2 плотно в B1 и в B2 . Пусть далее L : B1 ∩ B2 → A1 ∩ A2 —
линейный оператор, для которого справедливы оценки

                kLukAi 6 Ki kukBi           ∀u ∈ B1 ∩ B2 ,         i = 1, 2.

Тогда при 0 < θ = ν + 1/p < 1 оператор L является непрерывным
оператором из T = T (p, ν; B1 , B2 ) в Te = T (p, ν; A1 , A2 ) и имеет место
неравенство
                kLukTe 6 K11−θ K2θ kukT         ∀u ∈ T.

Страницы