Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Пространство следов 101
Лемма 4.4. Пусть f ∈ W . Тогда существует b ∈ B
1
+ B
2
такой,
что
f(t) = b +
t
Z
1
f
0
(τ)dτ (3.1)
для почти всех t ∈ (0, ∞). Следовательно, f совпадает с непрерывной
функцией на (0, ∞) в B
1
+ B
2
всюду, кроме, быть может, множества
меры нуль.
Доказательство. Так как t
ν
f ∈ L
p
(0, ∞; B
1
), то f ∈ L
p,loc
(0, ∞; B
1
).
Аналогично, f
0
∈ L
p,loc
(0, ∞; B
2
), следовательно, B
1
+ B
2
-значная функ-
ция
v(t) = f(t) −
t
Z
1
f
0
(τ)dτ
является элементом L
p,loc
(0, ∞; B
1
+B
2
). Поэтому для произвольного ли-
нейного непрерывного на B
1
+ B
2
функционала b
0
скалярная функция
< v(·), b
0
>
5
локально интегрируема на (0, ∞) и ее слабая производная
d
dt
< v(t), b
0
> равна нулю почти всюду, откуда следует существование
элемента b ∈ B
1
+ B
2
такого, что v(t) = b почти всюду. Лемма доказана.
Лемма 4.5. Пусть ν+1/p < 1. Тогда для f ∈ W правая часть (3.1)
сходится в B
1
+ B
2
при t → 0+. Этот предел называется значением
f(0) или следом f при t = 0.
Доказательство. Если 0 < s < t, 1 < p < ∞, то
°
°
°
°
t
Z
s
f
0
(τ)dτ
°
°
°
°
B
2
6
t
Z
s
kτ
ν
f
0
(τ)k
B
2
τ
−ν
dτ 6 kt
ν
f
0
k
L
p
(0,∞;B
2
)
µ
t
Z
0
τ
−νq
dτ
1/q
,
где q = p/(p − 1). При t → 0+ последний интеграл стремится к нулю,
так как qν < 1. Это означает, что
t
R
1
f
0
(τ)dτ сходится в B
2
при t → 0+.
Если p = 1 и p = ∞, то сходимость интеграла устанавливается непосред-
ственно, без использования неравенства Гельдера. Лемма доказана.
5
Здесь, как обычно, < v, b
0
> — значение функционала b
0
на элементе v.
§ 3. Пространство следов                                                                                 101


   Лемма 4.4. Пусть f ∈ W . Тогда существует b ∈ B1 + B2 такой,
что
                                Zt
                     f (t) = b + f 0 (τ )dτ                (3.1)
                                                        1
для почти всех t ∈ (0, ∞). Следовательно, f совпадает с непрерывной
функцией на (0, ∞) в B1 + B2 всюду, кроме, быть может, множества
меры нуль.
    Доказательство. Так как tν f ∈ Lp (0, ∞; B1 ), то f ∈ Lp,loc (0, ∞; B1 ).
Аналогично, f 0 ∈ Lp,loc (0, ∞; B2 ), следовательно, B1 + B2 -значная функ-
ция
                                          Zt
                           v(t) = f (t) − f 0 (τ )dτ
                                                            1
является элементом Lp,loc (0, ∞; B1 +B2 ). Поэтому для произвольного ли-
нейного непрерывного на B1 + B2 функционала b0 скалярная функция
< v(·), b0 >5 локально интегрируема на (0, ∞) и ее слабая производная
 d
   < v(t), b0 > равна нулю почти всюду, откуда следует существование
dt
элемента b ∈ B1 + B2 такого, что v(t) = b почти всюду. Лемма доказана.
    Лемма 4.5. Пусть ν+1/p < 1. Тогда для f ∈ W правая часть (3.1)
сходится в B1 + B2 при t → 0+. Этот предел называется значением
f (0) или следом f при t = 0.
       Доказательство. Если 0 < s < t, 1 < p < ∞, то
°Z t         °              Zt                                                   µZ t                  ¶1/q
°            °
° f 0 (τ )dτ °          6          ν 0
                                 kτ f (τ )kB2 τ   −ν            ν 0
                                                       dτ 6 kt f kLp (0,∞;B2 )          τ   −νq
                                                                                                  dτ          ,
°            °
                   B2
  s                         s                                                      0

где q = p/(p − 1). При t → 0+ последний интеграл стремится к нулю,
                                 Rt 0
так как qν < 1. Это означает, что f (τ )dτ сходится в B2 при t → 0+.
                                                   1
Если p = 1 и p = ∞, то сходимость интеграла устанавливается непосред-
ственно, без использования неравенства Гельдера. Лемма доказана.
  5
      Здесь, как обычно, < v, b0 > — значение функционала b0 на элементе v.

Страницы