Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Пространство следов 99
Так как f непрерывно дифференцируема на [0, ∞) в B, то функция
g
0
(t) =
t
Z
0
G(t − τ)f
0
(τ)dτ + G(t) f(0)
определена и непрерывна на [0, ∞) в B. С другой стороны,
g(t + s) −g(t)
s
=
=
t
Z
0
G(s) − G(0)
s
G(t − τ) f(τ) dτ +
1
s
t+s
Z
t
G(t + s − τ) f(τ) dτ =
=
G(s) − G(0)
s
g(t) +
1
s
s
Z
0
G(s − τ) f(t + τ) dτ.
По лемме 4.2(a) и в силу непрерывности f последнее слагаемое сходится
к f(t), когда s → 0+. Таким образом, вместе с существованием g
0
(t) су-
ществует lim
s→0+
(G(s)−G(0))g(t)/s и, следовательно, g(t) ∈ D(Λ). Поэтому
g
0
(t) = Λg(t) + f(t), и теорема доказана.
§ 3. Пространство следов
Пусть B
1
и B
2
два банахова пространства с нормами k · k
i
, i = 1, 2,
соответственно, и пусть эти пространства непрерывно вложены в неко-
торое банахово пространство X. Определим сумму пространств
B
1
+ B
2
= {b
1
+ b
2
∈ X | b
i
∈ B
i
, i = 1, 2} ,
которая является банаховым пространством относительно нормы
kuk
B
1
+B
2
= inf (kb
1
k
1
+ kb
2
k
2
),
где точная нижняя грань берется по всевозможным представлениям век-
тора u = b
1
+ b
2
∈ B
1
+ B
2
, b
i
∈ B
i
, i = 1, 2.
Для вещественного ν через t
ν
обозначается вещественнозначная
функция на [0, ∞), t
ν
(t) = t
ν
для любого t ∈ [0, ∞). Определим для
§ 3. Пространство следов                                                                     99


Так как f непрерывно дифференцируема на [0, ∞) в B, то функция
                                   Zt
                       g 0 (t) =        G(t − τ )f 0 (τ )dτ + G(t)f (0)
                                   0

определена и непрерывна на [0, ∞) в B. С другой стороны,
             g(t + s) − g(t)
                             =
                    s
         Zt                                               Zt+s
              G(s) − G(0)                       1
     =                    G(t − τ ) f (τ ) dτ +                  G(t + s − τ ) f (τ ) dτ =
                   s                            s
         0                                                 t
                                                  Zs
                     G(s) − G(0)        1
                 =               g(t) +                G(s − τ ) f (t + τ ) dτ.
                          s             s
                                                   0
По лемме 4.2(a) и в силу непрерывности f последнее слагаемое сходится
к f (t), когда s → 0+. Таким образом, вместе с существованием g 0 (t) су-
ществует lim (G(s)−G(0))g(t)/s и, следовательно, g(t) ∈ D(Λ). Поэтому
              s→0+
 0
g (t) = Λg(t) + f (t), и теорема доказана.

                            § 3. Пространство следов

    Пусть B1 и B2 два банахова пространства с нормами k · ki , i = 1, 2,
соответственно, и пусть эти пространства непрерывно вложены в неко-
торое банахово пространство X. Определим сумму пространств

                  B1 + B2 = { b1 + b2 ∈ X | bi ∈ Bi , i = 1, 2} ,

которая является банаховым пространством относительно нормы

                           kukB1 +B2 = inf (kb1 k1 + kb2 k2 ),

где точная нижняя грань берется по всевозможным представлениям век-
тора u = b1 + b2 ∈ B1 + B2 , bi ∈ Bi , i = 1, 2.
    Для вещественного ν через tν обозначается вещественнозначная
функция на [0, ∞), tν (t) = tν для любого t ∈ [0, ∞). Определим для

Страницы