Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

98 Пространства Соболева дробного порядка
Доказательство. Единственность. Нужно показать, что решением за-
дачи (2.1) с правой частью f(t) ≡ 0 и начальным условием a = 0 может
быть только u(t) ≡ 0. Действительно, если u — любое решение такой
задачи, то при t > τ имеем
∂
∂τ
G(t − τ)u(τ) = lim
s→0
G(t − τ − s) u(τ + s) − G(t −τ) u(τ)
s
=
= lim
s→0
G(t − τ − s) − G(t −τ)
s
u(s) + lim
s→0
G(t−τ −s)
u(τ + s) − u(τ)
s
=
= −G(t −τ) Λu(τ) + G(t −τ ) u
0
(τ) = −G(t −τ) (Λu(τ) − u
0
(τ)) = 0.
Поэтому, G(t−τ)u(τ ) = G(t)u(0) = 0 для всех t > τ. Переходя к пределу
по t → τ+, получим u(τ ) = G(0)u(τ) = 0 для всех τ > 0.
Существование. Покажем, что функция u, определяемая формулой
(2.2), является решением задачи (2.1). Поскольку u(0) = a, то, очевидно,
(d/dt)G(t)a = ΛG(t)a. Следовательно, достаточно проверить, что
g(t) =
t
Z
0
G(t − τ)f(τ)dτ ∈ D(Λ) ∀t > 0,
функция g : [0, ∞) → B непрерывно дифференцируема и удовлетворя-
ет при t > 0 уравнению g
0
(t) = Λg(t) + f(t). Действительно,
g(t + s) − g(t)
s
=
1
s
t+s
Z
0
G(t + s − τ) f(τ) dτ −
1
s
t
Z
0
G(t − τ) f(τ) dτ =
=
1
s
t
Z
−s
G(t − τ) f(τ + s) dτ −
1
s
t
Z
0
G(t − τ) f(τ) dτ =
=
t
Z
0
G(t − τ)
f(τ + s) − f(τ)
s
dτ +
1
s
t+s
Z
0
G(τ) f(t + s − τ) dτ.
98                                                Пространства Соболева дробного порядка


   Доказательство. Единственность. Нужно показать, что решением за-
дачи (2.1) с правой частью f (t) ≡ 0 и начальным условием a = 0 может
быть только u(t) ≡ 0. Действительно, если u — любое решение такой
задачи, то при t > τ имеем
      ∂                       G(t − τ − s) u(τ + s) − G(t − τ ) u(τ )
         G(t − τ )u(τ ) = lim                                         =
      ∂τ                  s→0                   s


           G(t − τ − s) − G(t − τ )                         u(τ + s) − u(τ )
= lim                               u(s) + lim G(t − τ − s)                  =
     s→0              s                    s→0                     s


= − G(t − τ ) Λu(τ ) + G(t − τ ) u0 (τ ) = − G(t − τ ) (Λu(τ ) − u0 (τ )) = 0.

Поэтому, G(t−τ )u(τ ) = G(t)u(0) = 0 для всех t > τ . Переходя к пределу
по t → τ +, получим u(τ ) = G(0)u(τ ) = 0 для всех τ > 0.
    Существование. Покажем, что функция u, определяемая формулой
(2.2), является решением задачи (2.1). Поскольку u(0) = a, то, очевидно,
(d/dt)G(t)a = ΛG(t)a. Следовательно, достаточно проверить, что
                             Zt
                   g(t) =            G(t − τ )f (τ )dτ ∈ D(Λ)          ∀ t > 0,
                             0

функция g : [0, ∞) → B непрерывно дифференцируема и удовлетворя-
ет при t > 0 уравнению g 0 (t) = Λg(t) + f (t). Действительно,
                     Zt+s                            Zt
 g(t + s) − g(t)   1                               1
                 =       G(t + s − τ ) f (τ ) dτ −      G(t − τ ) f (τ ) dτ =
        s          s                               s
                                 0                                 0

                    Zt                                 Zt
               1                                  1
             =           G(t − τ ) f (τ + s) dτ −           G(t − τ ) f (τ ) dτ =
               s                                  s
                   −s                                   0

            Zt                                              Zt+s
                           f (τ + s) − f (τ )      1
       =         G(t − τ )                    dτ +              G(τ ) f (t + s − τ ) dτ.
                                   s               s
            0                                               0

Страницы