Пространства Соболева (теоремы вложения). Павлова М.Ф - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

100 Пространства Соболева дробного порядка
p ∈ [1, ∞] и вещественного ν векторное пространство W (p, ν; B
1
, B
2
),
или короче W , измеримых функций f : [0, ∞) → (B
1
+ B
2
) таких, что
t
ν
f ∈ L
p
(0, ∞; B
1
), t
ν
f
0
∈ L
p
(0, ∞; B
2
),
где f
0
обозначает слабую производную f. Пространство W является ба-
наховым пространством относительно нормы
kfk
W
= max
³
kt
ν
fk
L
p
(0,∞;B
1
)
, kt
ν
f
0
k
L
p
(0,∞;B
2
)
´
.
Используя такую конструкцию можно показать, что пространство
W (p, 0; W
1
p
(R
n
), L
p
(R
n
)) изоморфно пространству Соболева W
1
p
(Ω),
где Ω = {(x, t) | x ∈ R
n
, t > 0}.
Лемма 4.3. Подпространство W , состоящее из бесконечно диф-
ференцируемых на (0, ∞) в B
1
функций, плотно в W при 1 6 p < ∞.
Доказательство. Рассмотрим преобразование t = e
τ
, f(e
τ
) =
e
f(τ).
Ясно, что f ∈ W тогда и только тогда, когда
∞
Z
−∞
³
e
θpτ
k
e
f(τ)k
p
B
1
+ e
(θ−1)pτ
k
e
f
0
(τ)k
p
B
2
´
dτ < ∞,
где θ = ν + 1/p. Пусть
J
ε
∗
e
f(t) =
∞
Z
−∞
J
ε
(t − ξ)
e
f(ξ) dξ ,
где J
ε
(ξ) — определенная в параграфе 3 главы 1 функция. Ясно, что
J
ε
∗
e
f : R → B
1
бесконечно дифференцируема. Следуя доказательству
теоремы 1.5, нетрудно показать, что при ε → 0+
∞
Z
−∞
µ
e
θpτ
kJ
ε
∗
e
f(τ) −
e
f(τ)k
p
B
1
+ e
(θ−1)pτ
k(J
ε
∗
e
f)
0
(τ) −
e
f
0
(τ)k
p
B
2
dτ → 0.
Таким образом, функции f
n
(t) = J
1/n
∗
e
f(ln(t)) бесконечно дифференци-
руемы на (0, ∞) в B
1
, и f
n
→ f в W . Лемма доказана.
Ниже будет показано, что при определенных значениях p и ν, функ-
ции f из W будут иметь "след" f(0) ∈ B
1
+ B
2
.
100                                                    Пространства Соболева дробного порядка


p ∈ [1, ∞] и вещественного ν векторное пространство W (p, ν; B1 , B2 ),
или короче W , измеримых функций f : [0, ∞) → (B1 + B2 ) таких, что

                     tν f ∈ Lp (0, ∞; B1 ),               tν f 0 ∈ Lp (0, ∞; B2 ),

где f 0 обозначает слабую производную f . Пространство W является ба-
наховым пространством относительно нормы
                          ³                                      ´
                             ν                   ν 0
              kf kW = max kt f kLp (0,∞;B1 ) , kt f kLp (0,∞;B2 ) .

Используя такую конструкцию можно показать, что пространство
W (p, 0; Wp1 (Rn ), Lp (Rn )) изоморфно пространству Соболева Wp1 (Ω),
где Ω = {(x, t) | x ∈ Rn , t > 0}.
   Лемма 4.3. Подпространство W , состоящее из бесконечно диф-
ференцируемых на (0, ∞) в B1 функций, плотно в W при 1 6 p < ∞.
   Доказательство. Рассмотрим преобразование t = eτ , f (eτ ) = fe(τ ).
Ясно, что f ∈ W тогда и только тогда, когда
                 Z∞ ³                                                  ´
                                          p                       p
                        e   θpτ
                                  kfe(τ )kB1 + e(θ−1)pτ kfe0 (τ )kB2       dτ < ∞,
                −∞

где θ = ν + 1/p. Пусть
                                                 Z∞
                                  Jε ∗ fe(t) =        Jε (t − ξ) fe(ξ) dξ ,
                                                 −∞

где Jε (ξ) — определенная в параграфе 3 главы 1 функция. Ясно, что
Jε ∗ fe : R → B1 бесконечно дифференцируема. Следуя доказательству
теоремы 1.5, нетрудно показать, что при ε → 0+
 Z∞ µ                                                                                       ¶
                                         p                                             p
        eθpτ kJε ∗ fe(τ ) −       fe(τ )kB1   + e(θ−1)pτ k(Jε ∗ fe)0 (τ ) −   fe0 (τ )kB2       dτ → 0.
−∞

Таким образом, функции fn (t) = J1/n ∗ fe(ln(t)) бесконечно дифференци-
руемы на (0, ∞) в B1 , и fn → f в W . Лемма доказана.
   Ниже будет показано, что при определенных значениях p и ν, функ-
ции f из W будут иметь "след" f (0) ∈ B1 + B2 .

Страницы